定積分(log x)

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 原始関数は前問で入手済み — $x\log x-x$。定積分は代入だけだ。

$${\int }_1^e\log xdx=[x\log x-x{]}_1^e=(e\cdot 1-e)-(1\cdot 0-1)=0-(-1)=1$$

$\log e=1$、$\log 1=0$ という特別な値のおかげで、上端の項が丸ごと $0$ に消える。答えはきれいな $1$ — 曲線 $y=\log x$ が $x=1$ から $e$ までに囲む面積である。

① 原始関数を使う。 $\int \log xdx=x\log x-x$。

② 代入して引く。 $\log e=1$、$\log 1=0$。

$${\int }_1^e\log xdx=[x\log x-x{]}_1^e=(e\cdot 1-e)-(1\cdot 0-1)=0-(-1)=1$$

まとめ:$\log x$ の定積分は、原始関数 $x\log x-x$ に代入。上端 $e$ で $e-e=0$、下端 $1$ で $0-1=-1$、引くと $1$。$\log e=1$、$\log 1=0$ の値を正確に使うのがポイント。

発展 — 一歩先へ。 別解の途中に現れた ${\int }_0^1{e}^{y}dy=e-1$ と、指数側の部分積分の定番 ${\int }_0^{1}y{e}^{y}dy=1$ — そして今回の ${\int }_1^e\log xdx=1$。最後の $2$ つが同じ値なのは偶然でなく、同じ図形を $x$ 軸側・$y$ 軸側から測った結果だ。逆関数のペア($e^x$ と $\log x$)の積分は、長方形を仲立ちにいつでも互いに翻訳できる。

面積 $1$ という値そのものも味わい深い。「$y=\frac{1}{x}$ の下の面積が $1$ になる区間の右端」として $e$ を定義する流儀があるが、その双対として「$\log x$ の下の面積が $1$」も $e$ の顔のひとつである。

別解

答え $1$ を、図形の引き算で計算し直してみる — 対数の積分に隠れた「逆関数の絵」が見える。

求める面積は、曲線 $y=\log x$ の下、$x=1$ から $e$ までの部分。この領域を横から($y$ 軸の方向から)眺めよう。

囲いの全体を、大きな長方形 — 横 $e$、縦 $1$($y=0$ から $1$)、面積 $e$ — の中に置く。長方形から求める領域を除いた残りは、「曲線の左側」の部分。$y=\log x$ を横向きに読むと $x=e^y$ だから、左側の面積は

$${\int }_0^1{e}^{y}dy=[e^y{]}_0^1=e-1$$

(ただの指数関数の積分 — $\log$ より圧倒的に易しい!)よって

$${\int }_1^e\log xdx=e\cdot 1-(e-1)-0\cdot 1=1$$

$\log$ の積分が、$e^y$ の積分と長方形の引き算に化けた。「難しい関数の積分は、逆関数を反対の軸から積分して長方形から引く」— 部分積分の技巧の裏には、この素朴な絵がずっと隠れている。