数学III / 積分法の計算

不定積分(多項式)

★ 基礎不定積分

問題

不定積分 $\int (3 x^{2} - 2 x) d x$ を求めよ。

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項ごとに、次数を $1$ つ上げて係数を調整する。最後に $+ C$ 。

解答・解説

方針

各項を別々に積分する。 $\int 3 x^{2} d x = x^{3}$ 、 $\int (- 2 x) d x = - x^{2}$ 。

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 $2$ 項の引き算だ。バラバラに積分してよい。

$\int (3 x^{2} - 2 x) d x = \int 3 x^{2} d x - \int 2 x d x$

なぜバラしてよいのか。

微分が、そういう性質をもっているからだ。

$(f + g)^{'} = f^{'} + g^{'}, (k f)^{'} = k f^{'}$

微分は、足し算と定数倍を素通りする。 その逆の操作である積分も、同じ性質をもつ。

これを積分の線形性という。

あとは、各項に累乗の公式を当てはめる。

$\int 3 x^{2} d x = 3 \cdot \frac{x ^{3}}{3} = x^{3}$

$\int 2 x d x = 2 \cdot \frac{x ^{2}}{2} = x^{2}$

$\int (3 x^{2} - 2 x) d x = x^{3} - x^{2} + C$

係数がきれいに約分されて、 $x^{3} - x^{2}$ という美しい形になった。

$C$ は $1$ つだけ。 項ごとに $C_{1}$ 、 $C_{2}$ と書く必要はない(まとめて $1$ つの定数になる)。

公式

\int x^{n} d x = \frac{x ^{n + 1}}{n + 1} + C

。項ごとに積分

各項を積分する。

$\int (3 x^{2} - 2 x) d x = x^{3} - x^{2} + C$

(確認: $(x^{3} - x^{2})^{'} = 3 x^{2} - 2 x$ 。)

まとめ:多項式は項ごとに積分。 $3 x^{2}$ は $\frac{3}{3} x^{3} = x^{3}$ 、 $- 2 x$ は $- \frac{2}{2} x^{2} = - x^{2}$ 。係数の変化も確かめると計算ミスが減る。数II の積分と同じだ。

発展 — 一歩先へ。 積分は、足し算と定数倍を素通りする(線形性)。では、掛け算はどうか。

$\int f (x) g (x) d x = ? (\int f d x) (\int g d x)$

これは、成り立たない。

反例で確かめよう。 $f = g = x$ とする。

左辺:

$\int x \cdot x d x = \int x^{2} d x = \frac{x ^{3}}{3} + C$

右辺:

$(\int x d x) (\int x d x) = \frac{x ^{2}}{2} \cdot \frac{x ^{2}}{2} = \frac{x ^{4}}{4}$

$\frac{x ^{3}}{3} \neq = \frac{x ^{4}}{4}$

まったく違う。

「積の積分は、積分の積ではない。」

微分でも、同じことが言えた。

$(f g)^{'} \neq = f^{'} g^{'}$

正しくは、積の微分公式

$(f g)^{'} = f^{'} g + f g^{'}$

この式を、逆に読んでみよう。両辺を積分する。

$f g = \int f^{'} g d x + \int f g^{'} d x$

移項すると

$\int f g^{'} d x = f g - \int f^{'} g d x$

部分積分の公式である!

積の微分公式を積分しただけで、部分積分が出てきた。

この公式は、「積の積分ができない」という困難への、 $1$ つの回答だ。

積の積分を、直接は計算できない。 だが、「別の積の積分」に書き換えることはできる。

そして、書き換えた先が計算しやすければ、勝ちだ。

例: $\int x e^{x} d x$

$f = x$ 、 $g^{'} = e^{x}$ とおく( $f^{'} = 1$ 、 $g = e^{x}$ )。

$\int x e^{x} d x = x e^{x} - \int 1 \cdot e^{x} d x = x e^{x} - e^{x} + C = (x - 1) e^{x} + C$

$x$ が微分されて $1$ になり、積分が簡単になった。

部分積分のコツは、「微分すると簡単になるほう」を $f$ に選ぶこと。

$x^{n}$ → 微分すると次数が下がる → $f$ に選ぶ
$lo g x$ → 微分すると $\frac{1}{x}$ (代数式)になる → $f$ に選ぶ
$e^{x}$ 、 $sin x$ → 微分しても複雑さが変わらない → $g^{'}$ に選ぶ

「積の積分はできない」という壁に、部分積分という扉が $1$ つ開いている。

そして、その扉の鍵は — 積の微分公式という、 $1$ 行の等式だったのだ。

答

$x^{3} - x^{2} + C$

別解

答えを微分して、検算する。

積分の答えは、必ず微分で確かめられる。 これほど確実な検算法はない。

答え $x^{3} - x^{2} + C$ を微分する。

$(x^{3} - x^{2} + C)^{'} = 3 x^{2} - 2 x + 0 = 3 x^{2} - 2 x ✓$

もとの被積分関数に、ぴったり戻った。

$30$ 秒で終わる検算だ。 積分の答えを書いたら、必ずこれをやる習慣をつけたい。

なぜ、この検算が強力なのか。

微分は「機械的に必ずできる」からだ。 迷いようがない。

積分は「探す」作業で、間違える余地が大きい。 その答えを、確実な微分で検証する。

「不確かなものを、確かなもので確かめる」 — 数学の基本戦略である。

さて、積分定数について、もう $1$ つ考えておこう。

「なぜ $C$ は $1$ つでいいのか。」

バラして積分したのだから、こう書くべきではないか。

$\int 3 x^{2} d x = x^{3} + C_{1}, \int 2 x d x = x^{2} + C_{2}$

$\int (3 x^{2} - 2 x) d x = x^{3} - x^{2} + (C_{1} - C_{2})$

確かに、 $2$ つの定数が出てくる。

だが、 $C_{1} - C_{2}$ は、結局「ただの定数」だ。

それを $C$ と名づければ、 $1$ 文字で済む。

$= x^{3} - x^{2} + C$

「任意の定数どうしを足し引きしても、任意の定数」

だから $C$ は $1$ つで十分なのである。

ここで、 $C$ の意味を、もう一段深く考えてみよう。

なぜ、積分の答えは $1$ つに決まらないのか。

微分が「情報を捨てる」操作だからだ。

$x^{3} - x^{2}, x^{3} - x^{2} + 5, x^{3} - x^{2} - 100$

この $3$ つは、微分すると全部同じ $3 x^{2} - 2 x$ になる。

微分の時点で、「定数の分だけ上下にずれている」という情報が失われる。

だから、逆をたどっても、元の位置は復元できない。

グラフで言えば、 $y$ 軸方向にどれだけ平行移動されていたかが、分からない。

そして、この不定性を消すには、追加の情報が要る。

「点 $(1, 0)$ を通る」といった条件があれば

$1^{3} - 1^{2} + C = 0 ⟹ C = 0$

$C$ が確定し、答えが $1$ つに決まる。

この「条件で $C$ を決める」作業が、微分方程式を解くということの中身だ。

微分方程式: 変化のルール(傾き)を与える
積分: そこから関数を復元する( $C$ の不定性が残る)
初期条件: $C$ を決める(スタート地点を指定する)

ロケットの軌道計算も、 $C$ を決める作業である。 加速度(方程式)だけでは足りない。「どこから、どんな速度で発射したか」を与えて、初めて軌道が $1$ つに決まる。

$+ C$ は、単なるお約束ではない。 「変化のルールだけでは、未来は決まらない」という、深い事実の表明なのだ。

ポイント

多項式は項ごとに積分。
微分して戻るか確認。

よくある間違い

$\int 3 x^{2} d x$ で係数 $3$ を割り忘れ、 $3 x^{3}$ としてしまう。 $3 \times \frac{x ^{3}}{3} = x^{3}$ と約分する
$- 2 x$ の項でマイナスを落とし、 $x^{3} + x^{2}$ としてしまう。符号は最後まで持ち歩く
積分定数を項ごとに $C_{1}$ 、 $C_{2}$ と書く。 $2$ つの定数の差はやはり定数なので、 $C$ は $1$ つで足りる