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数学I

集合と命題 必要条件・十分条件・証明法

集合の記法と演算、命題の真偽、必要条件・十分条件、対偶法・背理法による証明を扱います。

全 56 問(★基礎 12・★★標準 12・★★★応用 8・★★★★難関 8・実戦編 8・最難関編 8)

★ 基礎の問題12問

教科書レベル。定義・公式の確認と基本操作

  1. 集合の表し方(要素の列挙と条件)
  2. 部分集合の判定と書き出し
  3. 共通部分・和集合・補集合
  4. 数直線上の集合の共通部分・和集合
  5. ド・モルガンの法則の確認
  6. 命題の真偽と反例
  7. 命題の真偽と集合の包含関係
  8. 必要条件・十分条件の判定
  9. 逆・裏・対偶
  10. 対偶を利用する証明
  11. 背理法による証明
  12. 「すべて」と「ある」の否定

★★ 標準の問題12問

定期テストレベル。典型パターンの運用

  1. 集合の要素の列挙と条件による表現
  2. 共通部分・和集合・補集合
  3. ド・モルガンの法則の利用
  4. 命題の真偽と反例
  5. 集合の包含関係による真偽判定
  6. 必要条件・十分条件の判定
  7. 逆・裏・対偶とその真偽
  8. 対偶を利用する証明
  9. 背理法による無理数の証明
  10. 「すべて」と「ある」の否定
  11. 部分集合となる条件から定数を求める
  12. 十分条件・必要条件となる定数の範囲

★★★ 応用の問題8問

入試標準レベル。複数の考え方を組み合わせる

  1. 共通部分の条件から集合を決定する
  2. 絶対値で定められた集合の包含関係
  3. 十分条件・必要条件となる定数の範囲
  4. 必要条件・十分条件の判定(反例の発見)
  5. 対偶を利用する証明の応用
  6. 背理法による無理数の証明
  7. 「すべて」の命題の真偽と否定
  8. 有理数・無理数と係数決定

★★★★ 難関の問題8問

旧帝大・早慶レベル。一部の単元に用意した挑戦枠

  1. 補集合の条件から2つの集合を決定する
  2. 必要条件・十分条件の判定(範囲に直す)
  3. 対偶と余りによる整数の証明
  4. 背理法による無理数の証明(和の無理数)
  5. 集合の等式の証明(分配法則)
  6. 入れ子の量化命題の否定と真偽
  7. 逆・裏・対偶とその真偽(整数の偶奇)
  8. 命題が恒真となる条件(区間の包含)

実戦編の問題8問

難関大の総合問題。複数の単元を融合した単元横断の演習

  1. 平方数でも立方数でもない数の個数(包除原理)
  2. log₂3 が無理数であること(背理法)
  3. 51個の数から割り切る対がある(鳩の巣原理)
  4. √p が無理数であること(背理法)
  5. 素数は無限に存在する(ユークリッドの背理法)
  6. つねに正となる条件(全称命題と判別式)
  7. 対偶を用いる整数の証明(3の倍数)
  8. 共通部分の要素数の最大・最小(集合と数え上げ)

最難関編の問題8問

東大・京大の最難関レベル。気づきにくい発想や、何段階もの議論が必要な問題

  1. 5つの整数から3つ選んで和を3の倍数に
  2. 調和数は整数にならない
  3. 円 x²+y²=3 上に有理点はない
  4. 3つの集合すべてに属する人数の最小
  5. x²−x と x³−x が有理数なら x は有理数
  6. 2つの有理数の間には無理数がある
  7. 三角不等式の等号条件
  8. 存在命題が真になる条件

集合と命題の解説(つまずきやすい点と学習の順序)