集合と命題 — 必要条件・十分条件・証明法

次の問いに答えよ。

(1) $18$ の正の約数全体の集合 $A$ を、要素を書き並べる方法で表せ。

(2) $-2\leqq x<3$ を満たす整数 $x$ 全体の集合 $B$ を、要素を書き並べる方法で表せ。

(3) 集合 $C=\{3,6,9,12,15\}$ を、$\{3n\mid \cdots \}$ の形(要素の満たす条件を用いた表し方)で表せ。

$A=\{1,3,5,7,9\}$、$B=\{3,9\}$、$C=\{1,5,8\}$ とする。

(1) $B\subset A$ は成り立つか。理由をつけて答えよ。

(2) $C\subset A$ は成り立つか。理由をつけて答えよ。

(3) 集合 $D=\{2,4\}$ の部分集合をすべて書き出せ。

$10$ 以下の自然数全体の集合を全体集合 $U$ とする。$U$ の部分集合 $A,B$ を、$A$ は $10$ の正の約数全体の集合、$B$ は $8$ の正の約数全体の集合とするとき、次の集合を求めよ。

(1) $A\cap B$

(2) $A\cup B$

(3) $\overline{A}$

(4) $A\cap \overline{B}$

実数全体の集合を全体集合とする。$A=\{x\mid -1\leqq x<4\}$、$B=\{x\mid 2<x\leqq 6\}$ とするとき、次の集合を求めよ。

(1) $A\cap B$

(2) $A\cup B$

(3) $\overline{A}$

$12$ 以下の自然数全体の集合を全体集合 $U$ とする。$U$ の部分集合を $A=\{2,4,6,8,10,12\}$($U$ の中の偶数全体)、$B=\{3,6,9,12\}$($U$ の中の $3$ の倍数全体)とする。

(1) $\overline{A\cup B}$ を求めよ。

(2) $\overline{A}\cap \overline{B}$ を求めよ。

(3) (1)と(2)の結果を比べ、そこで確かめられるド・モルガンの法則を等式で書け。

$x$ は実数、$n$ は自然数とする。次の命題の真偽を調べよ。偽の場合は反例を1つ挙げよ。

(1) $x=3$ ならば $x^2=9$

(2) $x^2=9$ ならば $x=3$

(3) $n$ が $8$ の倍数ならば $n$ は $4$ の倍数

(4) $x^2>4$ ならば $x>2$

実数 $x$ に関する条件 $p,q$ を

$$p:0<x<3,q:-1<x<5$$

とし、$p,q$ を満たす $x$ 全体の集合をそれぞれ $P,Q$ とする。

(1) $P\subset Q$ と $Q\subset P$ のどちらが成り立つか。

(2) (1)の包含関係を用いて、命題「$p⟹q$」と「$q⟹p$」の真偽を答えよ。偽の場合は反例を1つ挙げよ。

次の空欄に当てはまるものを、下の(ア)〜(エ)から1つずつ選べ。ただし $x,y$ は実数、$n$ は自然数とする。

(1) $x=2$ は、$x^2=2x$ であるための（　）。

(2) $x=0$ は、$x^2+y^2=0$ であるための（　）。

(3) $x+3=5$ は、$x=2$ であるための（　）。

(4) $n$ が $4$ の倍数であることは、$n$ が $6$ の倍数であるための（　）。

(ア) 必要十分条件である (イ) 必要条件であるが十分条件でない (ウ) 十分条件であるが必要条件でない (エ) 必要条件でも十分条件でもない

$x$ を実数とする。命題「$x=2$ ならば $x^2=4$」について、次の問いに答えよ。

(1) この命題の逆・裏・対偶をそれぞれ述べよ。

(2) もとの命題と、(1)で作った逆・裏・対偶の真偽をそれぞれ調べよ。偽の場合は反例を1つ挙げよ。

$n$ を整数とする。命題「$3n+2$ が奇数ならば、$n$ は奇数である」を、対偶を利用して証明せよ。

$\sqrt{2}$ が無理数であることは、証明なしで用いてよい。このとき、$2+3\sqrt{2}$ が無理数であることを、背理法を用いて証明せよ。

次の問いに答えよ。

(1) 命題「すべての実数 $x$ について $x^2>0$」の否定を述べよ。また、もとの命題とその否定のどちらが真か、理由をつけて答えよ。

(2) 命題「ある自然数 $n$ について $n^2=25$」の否定を述べよ。また、もとの命題とその否定のどちらが真か、理由をつけて答えよ。

(3) 実数 $x$ に関する条件「$x>1$ かつ $x\leqq 4$」の否定を述べよ。

次の問いに答えよ。

(1) $24$ の正の約数全体の集合 $A$ を、要素を書き並べる方法で表せ。

(2) 集合 $B=\{3n-1\mid n\text{ は }5\text{ 以下の自然数}\}$ を、要素を書き並べる方法で表せ。

(3) 集合 $C=\{1,4,9,16,25\}$ を、(2) のように要素の満たす条件を用いた方法で表せ。

$12$ 以下の自然数全体を全体集合 $U$ とする。$U$ の部分集合 $A,B$ を、$A$ は $12$ の正の約数全体の集合、$B$ は $12$ 以下の $3$ の倍数全体の集合とする。次の集合を、要素を書き並べる方法で表せ。

(1) $A\cap B$

(2) $A\cup B$

(3) $\overline{A}$

(4) $\overline{A}\cap B$

$10$ 以下の自然数全体を全体集合 $U$ とし、$U$ の部分集合 $A,B$ を

$$A=\{2,4,6,8,10\},B=\{1,2,5,10\}$$

とする。

(1) $\overline{A\cup B}$ を求めよ。

(2) ド・モルガンの法則を利用して、$\overline{A}\cup \overline{B}$ を求めよ。

次の命題の真偽を調べよ。偽であるものについては反例を 1 つ挙げよ。ただし、$x,y$ は実数、$n$ は自然数とする。

(1) $x\ge 0$ ならば $x^2\ge x$ である。

(2) $n$ が $6$ の倍数ならば、$n$ は $3$ の倍数である。

(3) $x+y>2$ ならば、$x>1$ かつ $y>1$ である。

(4) $x,y$ がともに無理数ならば、積 $xy$ は無理数である。

$x$ は実数とする。次の命題の真偽を、条件を満たす $x$ 全体の集合の包含関係を調べることで判定せよ。偽の場合は反例を 1 つ挙げよ。

(1) $1<x<4$ ならば $0<x<6$ である。

(2) $-2\le x\le 2$ ならば $-1\le x\le 4$ である。

$x,y$ は実数、$n$ は自然数とする。次の (1)〜(4) のそれぞれについて、$p$ は $q$ であるための「十分条件であるが必要条件ではない」「必要条件であるが十分条件ではない」「必要十分条件である」「必要条件でも十分条件でもない」のいずれであるかを答えよ。

(1) $p$: $x=-2$ $q$: $x^2=4$

(2) $p$: $n$ は $4$ の倍数 $q$: $n$ は $8$ の倍数

(3) $p$: $x+y=0$ かつ $xy=0$ $q$: $x=0$ かつ $y=0$

(4) $p$: $x+y>0$ $q$: $xy>0$

$n$ は整数とする。命題「$n$ が $3$ の倍数ならば、$n$ は $6$ の倍数である」について、逆・裏・対偶をそれぞれ述べよ。また、もとの命題・逆・裏・対偶の真偽をそれぞれ調べ、偽の場合は反例を 1 つ挙げよ。

$n$ は整数とする。命題「$n^2-2n+3$ が偶数ならば、$n$ は奇数である」を、対偶を利用して証明せよ。

$\sqrt{2}$ が無理数であることを用いて、$3-2\sqrt{2}$ が無理数であることを背理法により証明せよ。

次の命題の否定を述べよ。また、もとの命題とその否定のどちらが真であるかを、理由とともに答えよ。

(1) すべての実数 $x$ について $x^2>0$ である。

(2) ある自然数 $n$ について $n^2=3n$ である。

(3) すべての実数 $x$ について $|x|=x$ である。

$a$ は実数の定数とする。2 つの集合

$$A=\{2,a+1\},B=\{1,3,a^2-2\}$$

について、$A\subset B$ が成り立つとき、$a$ の値を求めよ。

$x$ は実数、$a$ は実数の定数とする。$x$ に関する条件 $p,q,r$ を次のように定める。

$$p:1\le x\le 4,q:a\le x\le a+1,r:x\ge a$$

(1) $q$ が $p$ であるための十分条件となるような $a$ の値の範囲を求めよ。

(2) $r$ が $p$ であるための必要条件となるような $a$ の値の範囲を求めよ。

$a$ を実数の定数とし、2つの集合

$$A=\{1,4,a^2-3a+1\},B=\{2,a-1,a^2-6a+12\}$$

について、$A\cap B=\{4\}$ が成り立つとする。このとき $a$ の値を求めよ。また、そのときの $A\cup B$ を求めよ。

$a$ を実数の定数とし、2つの集合を

$$A=\{x\mid |x-1|<2\},B=\{x\mid |x-a|<3\}$$

と定める。

(1) $A\subset B$ となる $a$ の値の範囲を求めよ。

(2) $A\cap B=\varnothing$ となる $a$ の値の範囲を求めよ。

$k$ を正の定数とし、実数 $x$ に関する2つの条件

$$p:|x-2|\leqq k,q:-1\leqq x\leqq 4$$

を考える。

(1) $p$ が $q$ であるための十分条件となる $k$ の値の範囲を求めよ。

(2) $p$ が $q$ であるための必要条件となる $k$ の値の範囲を求めよ。

次の各場合について、$p$ は $q$ であるための「必要十分条件である」「十分条件であるが必要条件でない」「必要条件であるが十分条件でない」「必要条件でも十分条件でもない」のうち、どれに当てはまるかを答えよ。

(1) $x,y$ は実数とする。 $p:x+y>2$ かつ $xy>1$ $q:x>1$ かつ $y>1$

(2) $n$ は整数とする。 $p:n^2$ は $3$ の倍数 $q:n$ は $3$ の倍数

(3) $x$ は実数とする。 $p:x^2\leqq 1$ $q:x\leqq 1$

(4) $x,y$ は実数とする。 $p:xy$ は有理数 $q:x,y$ はともに無理数

次の命題を、対偶を利用して証明せよ。

(1) 実数 $x,y$ について、$x+y>2$ ならば「$x>1$ または $y>1$」である。

(2) 整数 $m,n$ について、$m^2+n^2$ が奇数ならば $mn$ は偶数である。

(1) $\sqrt{6}$ が無理数であることを、背理法を用いて証明せよ。ただし、整数 $p$ について「$p^2$ が偶数ならば $p$ は偶数である」ことは証明なしに用いてよい。

(2) (1)の結果を用いて、$\sqrt{2}+\sqrt{3}$ が無理数であることを証明せよ。

$a$ を実数の定数とし、命題

$$P:「0\leqq x\leqq 2\text{ を満たすすべての実数 }x\text{ について }ax+1>0」$$

を考える。

(1) 命題 $P$ が真となる $a$ の値の範囲を求めよ。

(2) 命題 $P$ の否定 $\overline{P}$ を述べよ。また、$\overline{P}$ が真となる $a$ の値の範囲を求めよ。

$\sqrt{2}$ が無理数であることは証明なしに用いてよい。

(1) 有理数 $a,b$ について、$a+b\sqrt{2}=0$ ならば $a=b=0$ であることを証明せよ。

(2) 有理数 $a,b$ が

$$a(1+2\sqrt{2})+b(3-\sqrt{2})=5+3\sqrt{2}$$

を満たすとき、$a,b$ の値を求めよ。

全体集合を $U=\{1,2,3,4,5,6\}$ とし、$U$ の部分集合 $A,B$ が次を満たす。

$$\overline{A\cup B}=\{6\},A\cap B=\{2,4\},\overline{A}\cap B=\{5\}$$

このとき、$A$ と $B$ を求めよ。

実数 $x$ に関する条件 $p,q$ について、$p$ は $q$ であるための何条件か(十分条件・必要条件・必要十分条件・いずれでもない のいずれか)を答えよ。

(1) $p:-1<x<3$、　$q:|x-1|<2$

(2) $p:x^2=x$、　$q:x=1$

(3) $p:x>2$、　$q:x^2>4$

整数 $a,b$ について、$a^2+b^2$ が $3$ の倍数ならば、$a,b$ はともに $3$ の倍数であることを証明せよ。

$\sqrt{2}$ が無理数であることを用いて、$\sqrt{2}+\sqrt{3}$ が無理数であることを証明せよ。

任意の集合 $A,B$ について、次の等式が成り立つことを証明せよ。

$$(A\cup B)\cap (A\cup \overline{B})=A$$

次の命題 $P,Q$ について、その否定を述べ、$P,Q$ それぞれの真偽を調べよ。

$P$:すべての実数 $x$ に対して、ある実数 $y$ が存在して $x+y=0$ となる。

$Q$:ある実数 $x$ が存在して、すべての実数 $y$ に対して $xy=y$ となる。

整数 $x,y$ についての命題「$x+y$ が奇数ならば $xy$ は偶数である」の逆・裏・対偶を述べ、それぞれの真偽を調べよ。偽のものは反例を挙げよ。

命題「$-1\le x\le 3$ ならば $|x-a|\le 2$」が、すべての実数 $x$ について成り立つような実数 $a$ の値を求めよ。

$1$ から $1000$ までの整数のうち、平方数でも立方数でもないものの個数を求めよ。

${\log }_{2}3$ が無理数であることを示せ。

$1$ から $100$ までの整数から $51$ 個を選ぶと、その中に一方が他方を割り切る $2$ 数が必ず存在することを示せ。

$p$ を素数とする。$\sqrt{p}$ が無理数であることを示せ。

素数は無限に存在することを示せ。

「すべての実数 $x$ に対し $x^2+ax+1>0$」が成り立つような定数 $a$ の値の範囲を求めよ。

整数 $n$ について、「$n^2$ が $3$ の倍数ならば $n$ は $3$ の倍数である」ことを対偶を用いて示せ。

全体集合 $U$ の要素数を $40$、部分集合 $A,B$ の要素数をそれぞれ $30,25$ とする。共通部分 $A\cap B$ の要素数のとりうる最大値と最小値を求めよ。

どのような5つの整数からも、うまく3つを選べば、その和が3の倍数になるようにできることを示せ。

$n$ を2以上の整数とするとき、$1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\cdots +\frac{1}{n}$ は整数でないことを示せ。

(1) 整数 $a,b$ について、$a^2+b^2$ が3の倍数ならば、$a,b$ はともに3の倍数であることを示せ。

(2) 円 $x^2+y^2=3$ 上に、$x$ 座標と $y$ 座標がともに有理数である点は存在しないことを示せ。

100人の生徒のうち、A を満たす者が80人、B を満たす者が75人、C を満たす者が65人いる。A, B, C のすべてを満たす者の人数として考えられる最小値を求めよ。

実数 $x$ について、$x^2-x$ と $x^3-x$ がともに有理数ならば、$x$ は有理数であることを示せ。また、「$x^2-x$ が有理数ならば $x$ は有理数」は正しいか — 正しければ証明し、正しくなければ反例をあげよ。

$a<b$ を満たすどんな有理数 $a,b$ に対しても、$a<c<b$ を満たす無理数 $c$ が存在することを示せ。

実数 $a,b$ について、次を示せ。

$$|a+b|=|a|+|b|⟺ab\ge 0$$

$a$ を実数の定数とする。命題

「ある実数 $x$ が存在して $|x-a|+|x-1|\le 2$」

が真となるような $a$ の値の範囲を求めよ。