逆・裏・対偶

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 もとの命題「$p$ ならば $q$」から $3$ つの兄弟を作る。

• 逆: $p$ と $q$ を入れかえる「$q$ ならば $p$」
• 裏: 両方を否定する「$p$ でないならば $q$ でない」
• 対偶: 入れかえて両方否定「$q$ でないならば $p$ でない」

そして最重要の事実 — もとの命題と対偶は、真偽が必ず一致する。逆と裏も互いに一致する。

だから調べるのは実質 $2$ つだけ。この構造を知っていれば、$4$ つの真偽を $2$ 回の判定で埋められる。

もとの命題は『$x=2$ ならば $x^2=4$』。

(1) 3つを作る。

• 逆($p,q$ を入れかえ):『$x^2=4$ ならば $x=2$』
• 裏(両方を否定):『$x\ne 2$ ならば $x^2\ne 4$』
• 対偶(入れかえて両方否定):『$x^2\ne 4$ ならば $x\ne 2$』

(2) 真偽を調べる。

• もとの命題: $x=2$ なら $x^2=4$。正しいので真。
• 逆: $x^2=4$ でも $x=2$ とは限らない($x=-2$ でも $x^2=4$)。反例 $x=-2$ で偽。
• 裏: $x\ne 2$ でも $x^2\ne 4$ とは限らない($x=-2$ は $x\ne 2$ だが $x^2=4$)。反例 $x=-2$ で偽。
• 対偶: $x^2\ne 4$ ならば $x\ne 2$。正しいので真。

まとめ:注目してほしいのは、もとの命題(真)と対偶(真)が一致、逆(偽)と裏(偽)が一致していること。『もとと対偶は真偽が同じ、逆と裏も同じ』は必ず成り立つ。だから対偶の真偽を調べれば、もとの命題の真偽もわかる(次の『対偶を利用する証明』につながる)。

発展 — 一歩先へ。 $4$ つの命題の真偽は、$2$ 組に分かれる — 「もと・対偶」が同じ、「逆・裏」が同じ。今回は前者が真、後者が偽($x=-2$ が共通の反例)。$4$ つを別々に調べる必要はなく、$2$ 回の判定で表が埋まる。

「もと ⟺ 対偶」の同値は、次の問題で証明の道具になる。直接証明しにくい命題も、対偶なら証明できる場合がある — 論理的に同じ主張なのだから、証明しやすい方を選んでよい。証明の入り口を選べる自由が、この定理の実用価値である。

別解

「もとと対偶の真偽が一致する」— この不思議な定理を、ベン図で納得しておこう。

$p$ の集合を $P$、$q$ の集合を $Q$ とする。

もとの命題「$p\Rightarrow q$」が真 ⟺ $P\subset Q$($P$ が $Q$ の中にすっぽり)

対偶「$\overline{q}\Rightarrow \overline{p}$」が真 ⟺ $\overline{Q}\subset \overline{P}$

ベン図を見てほしい。$P$ が $Q$ の内側にあるなら、外側の世界では逆転して、$Q$ の外($\overline{Q}$)は必ず $P$ の外($\overline{P}$)に含まれる — 内側の包含と外側の包含は、$1$ つの絵の $2$ つの読み方にすぎない。

$$P\subset Q⟺\overline{Q}\subset \overline{P}$$

同じ絵を見ているのだから、真偽が一致するのは当然だ。

日常語でも確かめられる。「A組の生徒 ⟹ この学校の生徒」と、その対偶「この学校の生徒でない ⟹ A組の生徒でない」— どちらも同じことを言っている。

一方、逆「この学校の生徒 ⟹ A組の生徒」は明らかに別の主張(偽)。もとと逆は無関係、もとと対偶は同じ — この区別が、次の対偶を使った証明の土台になる。