「すべて」と「ある」の否定

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 否定のルールは $2$ 組。否定をとると、ペアの相手に入れかわる。

• 「すべての $x$ で $P$」の否定 → 「ある $x$ で $P$ でない」
• 「ある $x$ で $P$」の否定 → 「すべての $x$ で $P$ でない」
• 「$A$ かつ $B$」の否定 → 「$A$ でない または $B$ でない」(ド・モルガン)

「すべて ↔ ある」「かつ ↔ または」— どちらも否定で入れかわる。この対応を機械的に適用するのが第一手だ。

(1) 『すべての実数 $x$ について $x^2>0$』の否定は、『すべて』を『ある』にして中身を否定する。

否定:『ある実数 $x$ について $x^2\le 0$』

どちらが真か。$x=0$ のとき $x^2=0$ で、$x^2>0$ は成り立たない。つまり例外があるので、もとの命題は偽。否定のほうが真($x=0$ が『$x^2\le 0$ を満たす $x$』の例)。

(2) 『ある自然数 $n$ について $n^2=25$』の否定は、『ある』を『すべて』にして中身を否定する。

否定:『すべての自然数 $n$ について $n^2\ne 25$』

どちらが真か。$n=5$ のとき $n^2=25$ になる。つまり『$n^2=25$ となる $n$ がある』ので、もとの命題が真。もとの命題のほうが真(否定は偽)。

(3) 『$x>1$ かつ $x\le 4$』の否定。『かつ』は『または』に変わり、それぞれの中身を否定する。$x>1$ の否定は $x\le 1$、$x\le 4$ の否定は $x>4$。

否定:『$x\le 1$ または $x>4$』

まとめ:『すべて⇔ある』『かつ⇔または』、そして中身の否定(不等号の向きが変わる)。この3つがセットで入れかわる、と覚えよう。

発展 — 一歩先へ。 不等号の否定にも注意が要る。$x>1$ の否定は $x\geqq 1$ ではなく $x\leqq 1$ — 「$1$ より大きくない」とは「$1$ 以下」だ。等号が反対側に移る。(3)の答え「$x\leqq 1$ または $x\geqq 4$」で、両方の等号が入っているのはこのためである。

この $2$ 組の入れかわり(すべて ↔ ある、かつ ↔ または)は、実は $1$ つの原理の現れだ。「すべて」は「かつ」の無限版($x_1$ でも成り立ち、かつ $x_2$ でも…)、「ある」は「または」の無限版 — ド・モルガンの法則を無限個に拡張したものが、量化子の否定の規則である。集合・命題・論理が、$1$ つの構造でつながっている。

別解

「すべて」と「ある」の否定が入れかわる理由を、日常の会話で確かめておこう。

「このクラスの生徒は全員眼鏡をかけている」

これを否定するには、どう言えばよいか。「全員かけていない」では行き過ぎだ。眼鏡をかけていない生徒が $1$ 人でもいれば、もとの主張は崩れる。

正しい否定は「眼鏡をかけていない生徒が $1$ 人はいる」。つまり「すべて」の否定は「ある($1$ つでも存在する)」だ。

逆も同じだ。「$1$ 人でも眼鏡の生徒がいる」を否定するなら、「$1$ 人もいない」= 「全員が眼鏡でない」— 「ある」の否定は「すべて」になる。

この感覚は反例の考え方と同じだ。「すべての $x$ で $x^2>0$」を崩すには反例 $1$ つ($x=0$)で足りる — 反例 $1$ つの存在が、「ある $x$ で $x^2\leqq 0$」という否定命題そのものだった。

否定を作ることと、反例を探すことは同じ行為 — この気づきがあると、(1)で「否定が真(反例 $x=0$ が存在するから)」という判定が自然に出せる。$4$ つの記号(すべて・ある・かつ・または)の関係が、日常語の中にすでに全部あるのだ。