必要条件・十分条件の判定

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 4問とも同じ手順で処理できる。矢印を2本($p\Rightarrow q$ と $q\Rightarrow p$)作り、それぞれ反例を探す。

呼び名は最後につける。出ていく矢印($p\Rightarrow q$)が真なら $p$ は十分条件。入ってくる矢印($q\Rightarrow p$)が真なら $p$ は必要条件。両方真なら必要十分。

「十分・必要」の言葉に迷ったら、矢印の真偽だけを先に確定させる。呼び名は機械的な作業だ。

$p\Rightarrow q$ 真なら $p$ は十分条件、$q\Rightarrow p$ 真なら $p$ は必要条件。

(1) $p:x=-2$、$q:x^2=4$。$p\Rightarrow q$: $x=-2$ なら $x^2=4$(真)。$q\Rightarrow p$: $x^2=4$ でも $x=2$ の場合があり $x=-2$ とは限らない(偽)。よって十分条件であるが必要条件ではない。

(2) $p:n$ は4の倍数、$q:n$ は8の倍数。$p\Rightarrow q$: 4の倍数でも8の倍数とは限らない(例 $n=4$、偽)。$q\Rightarrow p$: 8の倍数なら必ず4の倍数(真)。よって必要条件であるが十分条件ではない。

(3) $p:x+y=0$ かつ $xy=0$、$q:x=0$ かつ $y=0$。$p$ が成り立つと、$xy=0$ から一方が0、$x+y=0$ からもう一方も0。つまり $p$ と $q$ は同じ。両方真で必要十分条件。

(4) $p:x+y>0$、$q:xy>0$。$p\Rightarrow q$: $x=3,y=-1$ なら $x+y>0$ だが $xy=-3<0$(偽)。$q\Rightarrow p$: $x=y=-1$ なら $xy=1>0$ だが $x+y=-2<0$(偽)。どちらも偽で必要条件でも十分条件でもない。

『出ていくが十分、入ってくるが必要』。2つの矢印を別々に、反例で確かめよう。

発展 — 一歩先へ。 別解の「小さい方が十分・大きい方が必要」は、条件の強弱の直感そのものだ。厳しい(強い)条件は満たすものが少なく、ゆるい(弱い)条件は多い。

この強弱の感覚は、方程式や不等式を変形するとき「同値か、片向きか」を意識する習慣につながる。2乗する変形が要注意なのは、条件がゆるむ(集合が広がる)からだ。

別解

集合の「大小」で見る方法もある。条件を満たすものの集合を作り、小さい方が十分・大きい方が必要、と読むのだ。

(1) $p$ の集合は $\{-2\}$、$q$ の集合は $\{-2,2\}$。$p$ の側が小さい(含まれる)から、$p$ は十分条件。

(2) $4$ の倍数全体と $8$ の倍数全体では、$8$ の倍数のほうが小さい($8$ の倍数は必ず $4$ の倍数)。$p$ の側が大きいから、$p$ は必要条件。

(3)は両方の集合が一致する($x+y=0$ かつ $xy=0$ を満たすのは $x=y=0$ だけ)。だから必要十分。

(4)はどちらも相手を含まないから、どちらでもない。

「厳しい条件ほど集合は小さい。小さい方が十分、大きい方が必要」。この1行で4問すべてが同じ絵になる。