必要条件・十分条件の判定

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 「$p$ は $q$ であるための○○条件」の判定は、$2$ 本の矢印を別々に調べるだけ。

• $p\Rightarrow q$ が真 → $p$ は $q$ の十分条件
• $q\Rightarrow p$ が真 → $p$ は $q$ の必要条件
• 両方真 → 必要十分条件

覚え方は「矢印が出ていく先に十分、入ってくる元が必要」。両方の矢印を必ず調べる — 片方だけ見て判断するのが最大のミスである。

$p\Rightarrow q$ が真なら $p$ は十分条件、$q\Rightarrow p$ が真なら $p$ は必要条件。両方を調べる。

(1) $p:x=2$、$q:x^2=2x$。$q$ を解くと

$$x^2=2x⟺x^2-2x=0⟺x(x-2)=0⟺x=0\text{または}x=2$$

$p\Rightarrow q$: $x=2$ なら $x^2=2x$ は成り立つ(真)。$q\Rightarrow p$: $x^2=2x$ でも $x=0$ の場合があるので $x=2$ とは限らない(偽)。よって $p$ は十分条件だが必要条件でない→ (ウ)。

(2) $p:x=0$、$q:x^2+y^2=0$。$q$ は $x=0$ かつ $y=0$ のときだけ成り立つ。$p\Rightarrow q$: $x=0$ でも $y\ne 0$ なら $q$ は成り立たない(偽)。$q\Rightarrow p$: $q$ が成り立てば必ず $x=0$(真)。よって $p$ は必要条件だが十分条件でない→ (イ)。

(3) $p:x+3=5$、$q:x=2$。$x+3=5$ を解くと

$$x+3=5⟺x=2$$

つまり $p$ と $q$ は同じこと。両方真なので必要十分条件→ (ア)。

(4) $p:n$ は4の倍数、$q:n$ は6の倍数。4の倍数でも6の倍数とは限らず(例 $n=4$)、6の倍数でも4の倍数とは限らない(例 $n=6$)。どちらの矢印も偽。よって必要条件でも十分条件でもない→ (エ)。

まとめ:『矢印が出ていく($p\Rightarrow q$)なら十分、入ってくる($q\Rightarrow p$)なら必要』。2つの矢印を別々に調べるのが確実だ。

発展 — 一歩先へ。 用語の意味を日常語で確かめておこう。「十分」とは「それだけあれば足りる」— $x=2$ でありさえすれば $x^2=2x$ は確実に成り立つ(足りている)。「必要」とは「それがないと成り立たない」— $x^2+y^2=0$ であるためには $x=0$ が絶対に要る(欠かせない)。足りるか / 欠かせないか が用語の由来だ。

必要十分条件(同値)は「言い換えても情報が変わらない」ということ。(3)の $x+3=5$ と $x=2$ は、まったく同じ内容の別の書き方 — 数学の証明では、この同値変形を積み重ねて結論に至る。$⟺$ の記号を書けるかどうかは、論理の正確さの試金石である。

別解

用語の丸暗記をやめて、集合の大小で判定すると、必要と十分の取り違えが消える。

前問で見たとおり、$p\Rightarrow q$($p$ は十分条件)は $P\subset Q$、つまり $P$ が小さい方。だから

$p$ が「狭い(きつい)条件」なら十分条件、「広い(ゆるい)条件」なら必要条件

(1)を試そう。$p$: $x=2$ の集合は $P=\{2\}$。$q$: $x^2=2x$ を解くと $x(x-2)=0$ から $Q=\{0,2\}$。

$$P=\{2\}\subset \{0,2\}=Q$$

$P$ の方が狭い → $p$ は十分条件(だが必要ではない — $x=0$ が $Q$ にいて $P$ にいない)。

(2)は逆だ。$p$: $x=0$ の集合(これは $y$ が自由なので、$xy$ 平面では $y$ 軸全体)。$q$: $x^2+y^2=0$ は $x=y=0$ のみ(原点)。$q$ の方が狭い → $q\Rightarrow p$ が真、つまり $p$ は必要条件(原点なら $x=0$ だが、$x=0$ でも $y\ne 0$ なら $q$ は成り立たない)。

「狭い方から広い方へ矢印」「狭い方が十分、広い方が必要」 — 集合の大小だけ見れば、用語に振り回されずに答えが出る。