数学I / 集合と命題

有理数・無理数と係数決定

★★★ 応用背理法無理数有理数

問題

$2$ が無理数であることは証明なしに用いてよい。

(1) 有理数 $a, b$ について、 $a + b 2 = 0$ ならば $a = b = 0$ であることを証明せよ。

(2) 有理数 $a, b$ が

$a (1 + 22) + b (3 - 2) = 5 + 32$

を満たすとき、 $a, b$ の値を求めよ。

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(1) $b \neq = 0$ と仮定すると $2$ が有理数になってしまう — この矛盾で $b = 0$ 、続いて $a = 0$ 。(2)は左辺を『(有理数) $+$ (有理数) $2$ 』の形に整理し、(1)を使って係数どうしを比べる。

解答・解説

方針

(1)『 $a + b 2 = 0$ ( $a, b$ 有理数)ならば $a = b = 0$ 』を示す。もし $b \neq = 0$ なら $2 = - \frac{a}{b}$ となり、右辺は有理数。これは『 $2$ は無理数』に矛盾。だから $b = 0$ 、続いて $a = 0$ 。

(2)は(1)を使う。左辺を整理して『(有理数)+(有理数) $2$ 』の形にし、右辺と比べる。 $2$ の係数どうし、 $2$ のない部分どうしが等しい、と2つの式を立てる(係数比較)。

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 (1)は「もし $b \neq = 0$ だったら」と仮定してみるところから始まる。すると $2$ が有理数として書けてしまい、矛盾する。

この背理法が、無理数まわりの係数比較を支える土台になる。 $2$ の係数と定数部分を別々に等しいとおける根拠は、ここで作られる。

(2)はその(1)を道具として使う問題だ。まず等式を (有理数) $+$ (有理数) $2 = 0$ の形に整理するのが第一歩になる。

重要

a, b

が有理数で

a + b 2 = 0

なら

a = b = 0

(

2

が無理数だから)

(1) $a + b 2 = 0$ で $a, b$ は有理数。もし $b \neq = 0$ なら、 $2$ について解けて

$2 = - \frac{a}{b}$

右辺は有理数どうしの計算なので有理数。つまり $2$ が有理数となり、『 $2$ は無理数』に矛盾する。だから $b = 0$ 。 $b = 0$ を $a + b 2 = 0$ に入れると $a = 0$ 。よって $a = b = 0$ 。(証明終わり)

(2) 左辺を、 $2$ を含む部分と含まない部分に整理する。

$a (1 + 22) + b (3 - 2) = (a + 3 b) + (2 a - b) 2$

これが右辺 $5 + 32$ に等しい。

$(a + 3 b) + (2 a - b) 2 = 5 + 32$

移項して

$(a + 3 b - 5) + (2 a - b - 3) 2 = 0$

ここで $a + 3 b - 5$ と $2 a - b - 3$ は有理数。(1)の結果『(有理数)+(有理数) $2 = 0$ なら両方0』を使うと

$a + 3 b - 5 = 0 かつ 2 a - b - 3 = 0$

この連立を解く。2つ目から $b = 2 a - 3$ 。1つ目に入れて

$a + 3 (2 a - 3) = 5 すなわち 7 a = 14$

よって

$a = 2, b = 1$

(1)の『係数比較ができる』ことが(2)のカギ。 $2$ の係数どうし、定数どうしを等しいとおけるのは、 $2$ が無理数だからだ。

発展 — 一歩先へ。 $a, b$ が有理数なら、等式の $2$ を $- 2$ に置きかえても、やはり正しい等式になる(共役をとる)。もとの式と共役の式を足したり引いたりすれば、有理部分と $2$ の部分がきれいに分離でき、係数比較と同じ連立が出てくる。

この「有理数係数の関係式では、 $2$ と $- 2$ が対等に振る舞う」性質は、 $2$ を解にもつ最も簡単な方程式が $x^{2} - 2 = 0$ ( $2$ 次)であることの反映だ。

同じことは後で複素数を学ぶときにも現れる。有理数(や実数)を係数にもつ方程式では、無理数の解や虚数の解は必ず「共役の組」で現れる。たとえば $2 + 3$ が解なら $2 - 3$ も解で、 $(x - (2 + 3)) (x - (2 - 3)) = x^{2} - 4 x + 1$ と係数がすべて有理数になる。係数比較の裏には、この共役の対称性がひそんでいる。

答

(1) 証明参照 (2) $a = 2, b = 1$

別解

別解 — 連立を行列式(クラメルの公式)で解く(得意な人向けの視点)。 (1)から $2$ の係数どうし・定数どうしが等しいとおけて、

$a + 3 b = 5, 2 a - b = 3$

という $2$ 元 $1$ 次連立が立つ。ここまでは本解と同じ。この連立を、 $1$ 文字ずつ代入して消す代わりに、係数の行列式で一気に解く。

まず係数だけを並べた行列式を

$D = 12 3 - 1 = 1 \cdot (- 1) - 3 \cdot 2 = - 7$

とおく。 $D \neq = 0$ だから、この連立の解はただ $1$ 組に定まる。クラメルの公式では、 $a$ は係数行列の第 $1$ 列を、 $b$ は第 $2$ 列を、それぞれ右辺 $(5, 3)$ に置きかえた行列式を $D$ で割って得られる。

$a = \frac{1}{D} 53 3 - 1 = \frac{- 5 - 9}{- 7} = 2, b = \frac{1}{D} 1253 = \frac{3 - 10}{- 7} = 1$

代入消去(本解)が「 $1$ 文字ずつ順に消す」手続きなのに対し、行列式で解くと「 $D \neq = 0$ なら解は一意」という事実まで同時に見える。本解と同じ $a = 2, b = 1$ を得る。

ポイント

(1) $b \neq = 0$ なら $2$ が有理数になり矛盾 → $b = 0$ 、 $a = 0$
(2)左辺を『(有理数)+(有理数) $2$ 』に整理する
(1)より、 $2$ の係数・定数部分をそれぞれ等しいとおける(係数比較)

よくある間違い

(1)で $b \neq = 0$ の場合分け(背理法)をせず、いきなり $a = b = 0$ と書いて証明になっていない。
(2)で $2$ を含む項と定数項を混ぜてしまい、(有理数) $+$ (有理数) $2$ の形に整理できない。
(2)で $3 - 2$ の $- 2$ の符号を落とし、連立 $2 a - b = 3$ を $2 a + b = 3$ などと立ててしまう。