集合の要素の列挙と条件による表現

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 列挙の問題の敵はただ1つ、「もれ」だ。

だから、数え上げの秩序を先に決めてから書き始める。約数はかけ算のペアで拾う。条件式の集合は $n$ に順に代入する。

(3)は逆向きの翻訳だ。$1,4,9,\dots$ を眺めて「2乗の数だ」と正体を見抜き、条件の形にまとめる。

(1) 24の約数を、かけて24になるペアで拾うと数え落としがない。

$$24=1\times 24=2\times 12=3\times 8=4\times 6$$

これで8個の約数がそろう。

$$A=\{1,2,3,4,6,8,12,24\}$$

(2) 条件 $3n-1$ に $n=1,2,3,4,5$ を入れて計算する。

$$3\cdot 1-1=2,3\cdot 2-1=5,3\cdot 3-1=8,3\cdot 4-1=11,3\cdot 5-1=14$$

よって

$$B=\{2,5,8,11,14\}$$

(3) $C=\{1,4,9,16,25\}$ の各要素は、2乗の数だ。

$$1=1^2,4=2^2,9=3^2,16=4^2,25=5^2$$

だから条件で表すと

$$C=\{n^2\mid n\text{ は }5\text{ 以下の自然数}\}$$

並べる書き方と条件で表す書き方、どちらも自由に行き来できるようにしよう。

発展 — 一歩先へ。 集合の2つの書き方(列挙と条件)は、翻訳の練習でもある。条件の書き方は、要素が無限にある集合(偶数全体など)には唯一の手段になる。

別解の「個数を先に予言する」考え方は、数学Aで約数の個数の公式として一般化される。列挙と計算、2つの道で同じ答えに着くことを確かめる習慣が、ミスへの一番の保険だ。

別解

(1)は、列挙の前に「個数の予言」をしておくと、もれの検出が確実になる。

$24=2^3\times 3$ と素因数分解すると、約数の個数は $(3+1)\times (1+1)=8$ 個と先に分かる($2$ を $0$〜$3$ 個、$3$ を $0$〜$1$ 個選ぶ組み合わせの数だ)。

列挙して $8$ 個そろえば完了、$7$ 個しかなければどこかにもれがある。

「答えのサイズを先に知ってから数える」。この二重チェックの習慣は、場合の数でも大活躍する。個数の公式そのものは、数学Aの整数の性質でくわしく学ぶ。