存在命題が真になる条件

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 存在命題「ある $x$ で $f(x)\le 2$」は、「$f$ の最小値が2以下」と同値だ。量化子を最小値の言葉に翻訳する。これが第一手になる(全称なら最大値に翻訳する、と対で覚える)。

$f(x)=|x-a|+|x-1|$ は、数直線上の2点 $a,1$ への距離の和だ。$x$ が2点の間(両端含む)にあれば、和はちょうど2点間の距離 $|a-1|$。外に出ると、それより大きくなる。つまり最小値は $|a-1|$。

条件は $|a-1|\le 2$ の1本に潰れる。

① 最小値を求める。 三角不等式より、すべての $x$ で

$$|x-a|+|x-1|\ge |(x-a)-(x-1)|=|1-a|=|a-1|$$

等号は $x-a$ と $x-1$ が異符号または0のとき。すなわち $x$ が $a$ と $1$ の間にあるときだ。そのような $x$ は実際に存在するから、最小値は $|a-1|$ である。

② 存在命題を翻訳する。

$$(\exists x:|x-a|+|x-1|\le 2)⟺\underset{x}{\min }\left(|x-a|+|x-1|\right)\le 2⟺|a-1|\le 2$$

③ 解く。

$$|a-1|\le 2⟺-2\le a-1\le 2⟺-1\le a\le 3$$

まとめ: 「ある $x$」は最小値、「すべての $x$」は最大値。量化子と最大最小の翻訳表が、この型の背骨だ。距離の和の最小が「2点の間なら2点間の距離」という数直線の描像とセットで、絶対値の式が一気に1次不等式へ潰れていく。

発展 — 一歩先へ。 平面で「2定点への距離の和が一定」の点の集まりは楕円になる(数Cの2次曲線)。本問の「距離の和が2以下になれるか」は、その1次元版だ。存在条件 $|a-1|\le 2$ は、「楕円がつぶれずに残る条件(定数 ≥ 焦点間の距離)」とまったく同じ形をしている。

別解

グラフの「皿」で見る(直感ルート)。 $y=|x-a|+|x-1|$ のグラフを描いてみよう。2つのV字の和は、両すそが上がった皿型になる。

形の理由はこうだ。$x$ が2点 $1,a$ の外側にいるとき、動くと両方の距離が同時に増減するから、傾きは $\pm 2$。2点の間では、片方に近づいたぶん片方から遠ざかり、和は変わらない。だから底は平らで、高さは2点間の距離 $|a-1|$ だ。

「ある $x$ で $f(x)\le 2$」とは、皿のどこかが高さ2以下にあること。いちばん低いのは平らな底だから、条件は $|a-1|\le 2$。つまり $-1\le a\le 3$。

場合分け(1次式3本)で最小値を計算しても同じ結論になる。だが皿の絵が頭にあれば、式より先に答えの形が見える。