数学I / 集合と命題

共通部分・和集合・補集合

★ 基礎集合の演算補集合

問題

$10$ 以下の自然数全体の集合を全体集合 $U$ とする。 $U$ の部分集合 $A, B$ を、 $A$ は $10$ の正の約数全体の集合、 $B$ は $8$ の正の約数全体の集合とするとき、次の集合を求めよ。

(1) $A \cap B$

(2) $A \cup B$

(3) $\overline{A}$

(4) $A \cap \overline{B}$

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まず $A$ (10の約数)と $B$ (8の約数)を書き出す。 $\cap$ は『両方に入る』、 $\cup$ は『どちらかに入る』、 $\overline{A}$ は『全体のうち $A$ に入らない』。定義どおりに拾おう。

解答・解説

3つの記号を確認する。 $\cap$ (共通部分)は『両方に入る』、 $\cup$ (和集合)は『どちらか一方でも入る』、 $\overline{A}$ (補集合)は『Aに入らない(全体の中で)』。

ベン図をかいて、 $A$ 、 $B$ の要素を書き込むと、どの記号もすぐ読み取れる。

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 $3$ つの記号の意味を確認する。

まず $A$ と $B$ の要素を書き出し、ベン図に配置する。 $A = {1, 2, 5, 10}$ 、 $B = {1, 2, 4, 8}$ 。図さえ描けば、どの記号も読み取るだけになる。

A = {1,2,5,10}(10の約数)、B = {1,2,4,8}(8の約数)— 色部分が A ∩ B

$A$ は10の約数 ${1, 2, 5, 10}$ 、 $B$ は8の約数 ${1, 2, 4, 8}$ 。全体 $U$ は1〜10。

(1) 共通部分(両方に入る)は、1と2。

$A \cap B = {1, 2}$

(2) 和集合(どちらか一方でも入る)は、 $A$ と $B$ の要素を全部集めて(ダブりは1回だけ)

$A \cup B = {1, 2, 4, 5, 8, 10}$

(3) 補集合 $\overline{A}$ ( $A$ に入らない、 $U$ の中の要素)は

$\overline{A} = {3, 4, 6, 7, 8, 9}$

(4) $A \cap \overline{B}$ は『 $A$ に入り、かつ $B$ に入らない』。 $A = {1, 2, 5, 10}$ から、 $B$ に入る1,2を除いて

$A \cap \overline{B} = {5, 10}$

ベン図に要素を書き込めば、どの記号も目で見て拾える。

発展 — 一歩先へ。 要素の個数にも法則がある。 $∣ A ∣ = 4$ 、 $∣ B ∣ = 4$ 、 $∣ A \cap B ∣ = 2$ のとき

$∣ A \cup B ∣ = 4 + 4 - 2 = 6$

単純に足すと、重なりの $2$ 個を $2$ 回数えてしまうので $1$ 回分引く — これが包除原理で、場合の数(数A)の中心道具になる。今回の答え( $6$ 個)と一致する。

$4$ 部屋の仕分け表は、集合が $3$ つになると $8$ 部屋( $2^{3}$ )に増える。ベン図が複雑になっても、表なら機械的に扱える — 「図で直感、表で確実」の $2$ 刀流が、集合の問題の実戦的な構えである。

答

(1) $A \cap B = {1, 2}$ (2) $A \cup B = {1, 2, 4, 5, 8, 10}$ (3) $\overline{A} = {3, 4, 6, 7, 8, 9}$ (4) $A \cap \overline{B} = {5, 10}$

全体集合 $U = {1, 2, \dots, 10}$ の要素を、 $4$ つの部屋に仕分けると、どの問いにも即答できる表ができる。

各要素について「 $A$ に入るか」「 $B$ に入るか」を $◯ \times$ で判定する。

$10$ 個の要素が、ちょうど $4$ 部屋に散った( $2 + 2 + 2 + 4 = 10$ ✓ — この合計チェックが仕分けもれを検出する)。

あとは部屋を選ぶだけ。

ベン図の $4$ つの領域が、表の $4$ 行に対応している — 図が苦手なら表。どんな複雑な記号の組み合わせも、「どの部屋を選ぶか」に翻訳すれば機械的に答えが出る。