数学I / 集合と命題

部分集合となる条件から定数を求める

★★ 標準部分集合集合と定数

問題

$a$ は実数の定数とする。2 つの集合

$A = {2, a + 1}, B = {1, 3, a^{2} - 2}$

について、 $A \subset B$ が成り立つとき、 $a$ の値を求めよ。

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$A \subset B$ なら $A$ の各要素が $B$ に入る。 $A$ の要素 $a + 1$ が $B$ のどれかと一致するはず — $B$ の中で候補になれるのはどれか( $1, 3$ は定数なので…)。求めた $a$ は必ず元の条件で検算。

解答・解説

$A \subset B$ とは、 $A$ の要素が全部 $B$ に入ること。 $A = {2, a + 1}$ の要素2と $a + 1$ が、両方 $B = {1, 3, a^{2} - 2}$ に入る条件を考える。

$2 \in B$ から、 $B$ の中に2があるはず → $a^{2} - 2 = 2$ 。ここから $a$ の候補を出し、 $a + 1$ も $B$ に入るかを確かめる。

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 $A \subset B$ を、方程式の集まりに翻訳する。「 $A$ の各要素が、 $B$ のどれかと一致する」ということだ。

狙い目は動かない要素から。 $A$ の $2$ は固定で、 $B$ の $1$ と $3$ には一致できない。だから $a^{2} - 2 = 2$ しかない。

ここから $a$ の候補が出る。候補は必ず元の集合に戻して検算する。もう1つの要素 $a + 1$ が本当に $B$ に入るか、要素の重複が起きないか。この検分までが1セットだ。

$A \subset B$ は、 $A = {2, a + 1}$ の要素が両方 $B = {1, 3, a^{2} - 2}$ に入ること。

$2 \in B かつ a + 1 \in B$

まず $2 \in B$ を考える。 $B$ の要素1, 3, $a^{2} - 2$ のうち、2になれるのは $a^{2} - 2$ だけ( $1, 3$ は2でない)。だから

$a^{2} - 2 = 2$

これを解くと $a^{2} = 4$ 、

$a = 2 または a = - 2$

それぞれ、 $a + 1$ も $B$ に入るか確かめる。

$a = 2$ のとき: $a + 1 = 3$ 。 $B = {1, 3, 2}$ に3は入る。 $A = {2, 3} \subset B$ でOK。

$a = - 2$ のとき: $a + 1 = - 1$ 。 $B = {1, 3, 2}$ に $- 1$ は入らない。不適。

よって

$a = 2$

まとめ:候補を出したら、必ず元の条件(ここでは $a + 1 \in B$ )を満たすか検算する。これを忘れると、不適な $a = - 2$ まで答えてしまう。

発展 — 一歩先へ。 文字入りの集合では、「集合の要素は互いに異なる」という約束と「候補は必ず検算」の2つが最後の関門になる。式の上で辻褄が合っても、集合として成立しないことがあるからだ。

「必要条件で候補を絞り、十分性を検算で確かめる」という今回の流れは、方程式の応用問題全般の基本形でもある。絞る段階と確かめる段階を分けて書けると、答案の説得力が上がる。

答

$a = 2$

もう1つの要素 $a + 1$ の行き先を軸に、場合を尽くすルートもある。 $a + 1$ は $B$ の3つの要素のどれかと一致するはずだ。

$a + 1 = 1$ のとき $a = 0$ 。 $B = {1, 3, - 2}$ となり、 $2 \in B$ が成り立たない。不適。
$a + 1 = 3$ のとき $a = 2$ 。 $B = {1, 3, 2}$ 、 $A = {2, 3}$ 。両要素とも $B$ に入る。適する。
$a + 1 = a^{2} - 2$ のとき $a^{2} - a - 3 = 0$ 。この $a$ では $a^{2} - 2 = a + 1 \neq = 2$ となり( $a + 1 = 2$ なら $a = 1$ だが、これは $a^{2} - a - 3 = 0$ を満たさない)、 $B$ の中に $2$ がいなくなる。不適。

どの道でも生き残るのは $a = 2$ だけ。

一致の相手で場合を尽くす攻め方は、手数は増えるが「見落としがない」ことを自分で保証できる。答えの一意性まで確かめられるのが利点だ。