命題の真偽と集合の包含関係

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 条件を集合に翻訳すると、命題の真偽が図で見える。

$p$: $0<x<3$ の集合 $P$、$q$: $-1<x<5$ の集合 $Q$ を数直線に描くと、$P$ は $Q$ の中にすっぽり収まる。

$$P\subset Q$$

そして決定的な対応 — 「$p\Rightarrow q$ が真」⟺「$P\subset Q$」。

矢印の向きと包含の向きが一致する。$P$ が $Q$ に入るから $p\Rightarrow q$ は真、逆向きは $Q$ が $P$ からはみ出す($x=4$)ので偽である。

$P=\{x\mid 0<x<3\}$、$Q=\{x\mid -1<x<5\}$ を数直線にかく。

(1) $P$ の範囲($0$ から $3$)は、$Q$ の範囲($-1$ から $5$)の中にすっぽり入っている。だから

$$P\subset Q$$

(2) 『$p$ ならば $q$』が真かどうかは、$P\subset Q$ かどうかで決まる。$P\subset Q$ なので『$p\Rightarrow q$』は真。

逆に『$q\Rightarrow p$』は、$Q$ が $P$ に入るか($Q\subset P$)を見る。$Q$ のほうが広いので入らない。反例として、$x=4$ は $Q$ に入る($-1<4<5$)が $P$ に入らない($0<4<3$ でない)。だから『$q\Rightarrow p$』は偽。

まとめ:『$p\Rightarrow q$ が真 ⇔ $P\subset Q$』— 命題の真偽を、集合の入れ子で判断できるのが、この考えの便利なところだ。

発展 — 一歩先へ。 「$P\subset Q$ ⟺ $p\Rightarrow q$」という対応は、この単元の心臓部だ。命題(論理の話)と集合(図形の話)が、完全に同じ構造をしている — だから論理の問題を、数直線やベン図という絵で解ける。

この対応は、次の必要条件・十分条件の判定でそのまま使う道具になる。$p$ が $q$ の十分条件($p\Rightarrow q$)とは「$P$ が $Q$ に含まれる」、必要条件($q\Rightarrow p$)とは「$Q$ が $P$ に含まれる」— 矢印の向きと包含の向きを一致させて覚えれば、条件の用語で混乱しなくなる。

別解

「$P\subset Q$ なら $p\Rightarrow q$」がなぜ成り立つのか — 日常のたとえで腑に落としておこう。

$P$ を「$3$ 年A組の生徒」、$Q$ を「この学校の生徒」とする。A組は学校の一部だから $P\subset Q$。

このとき「A組の生徒ならば、この学校の生徒である」は当然成り立つ($p\Rightarrow q$ が真)。

逆はどうか。「この学校の生徒ならば、A組の生徒である」— B組の生徒が反例で偽。

つまり

小さい集合 $\Rightarrow$ 大きい集合(条件がきつい $\Rightarrow$ 条件がゆるい)は真

大きい $\Rightarrow$ 小さい は偽(はみ出す部分が反例)

今回の $p$($0<x<3$)は $q$($-1<x<5$)よりきつい条件。きつい条件を満たすなら、ゆるい条件は自動的に満たす — だから $p\Rightarrow q$ が真だ。反例 $x=4$ は「学校の生徒だがA組ではない」B組の生徒にあたる。

「範囲が狭い方から広い方へ矢印が出る」 — この向きの感覚が身につけば、必要・十分の判定(次の問題)で迷わなくなる。