数学I / 集合と命題

背理法による証明

★ 基礎背理法無理数

問題

$2$ が無理数であることは、証明なしで用いてよい。このとき、 $2 + 32$ が無理数であることを、背理法を用いて証明せよ。

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結論を否定して仮定する — 『 $2 + 32$ は有理数』とおく。その式を $2$ について解くと? 右辺が有理数になれば、 $2$ が無理数であることと食い違う。この矛盾で証明完了。

解答・解説

背理法は『結論と反対のことを仮定して、矛盾を導く』証明法だ。

ここでは『 $2 + 32$ は無理数』を示したい。反対に『 $2 + 32$ は有理数』と仮定する。すると式変形で $2$ が有理数になってしまい、『 $2$ は無理数』という事実と矛盾する。矛盾が出れば、仮定が間違いだったとわかり、もとの結論が正しい。

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 背理法は「結論の反対を仮定して、矛盾を導く」証明法。

示したいのは「 $2 + 32$ は無理数」。そこで反対に「 $2 + 32$ は有理数である」と仮定してみる。

すると式変形で $2$ が有理数だと言えてしまう — これは「 $2$ は無理数」という既知の事実に矛盾する。

矛盾が出たということは、仮定が間違っていた。よって結論が正しい。「無理数であることの直接証明」は難しいが、背理法なら扱える形に変わる。

重要背理法:示したい結論を否定して仮定し、矛盾を導く

背理法を使う。示したい結論と反対に、 $2 + 32$ が有理数であると仮定する。

その有理数を $r$ とすると

$2 + 32 = r$

$2$ について解く。まず

$32 = r - 2$

両辺を3で割って

$2 = \frac{r - 2}{3}$

ここで右辺 $\frac{r - 2}{3}$ は、有理数 $r$ から作った有理数(有理数どうしの計算は有理数)。つまり $2$ が有理数、ということになる。

でもこれは、『 $2$ は無理数』という事実に矛盾する。矛盾が出たのは、最初の仮定『 $2 + 32$ は有理数』が間違っていたからだ。

よって、 $2 + 32$ は無理数である。(証明終わり)

まとめ:背理法は『反対を仮定 → 変形 → 矛盾 → だから仮定が誤り → 結論が正しい』の流れ。無理数の証明でよく使う型だ。

発展 — 一歩先へ。 背理法の証明では、何と矛盾したのかを明示することが要点だ。今回は「 $2$ は無理数」という既知の事実と矛盾した。矛盾の相手が曖昧だと証明にならない — 「 $2$ が有理数となり、 $2$ が無理数であることに矛盾する」と書き切る。

背理法の威力は、「〜でない」型の主張(無理数である $=$ 有理数でない、素数が無限にある $=$ 有限個ではない)に対して発揮される。否定を証明するには、否定を仮定して壊すのがいちばん早い — ユークリッドの「素数は無限にある」の証明も、この型の名作である。

答

$2 + 32$ が有理数 $r$ であると仮定すると $2 = \frac{r - 2}{3}$ となり、右辺は有理数だから $2$ が有理数となって、 $2$ が無理数であることに矛盾する。よって $2 + 32$ は無理数である。(証明の詳細は解答参照)

この証明が動く仕組みは、有理数の「閉じている」性質にある。そこを言語化しておくと、背理法の骨格が見える。

有理数どうしを足す・引く・かける・( $0$ でない数で)割る — 結果は必ず有理数だ( $\frac{p}{q}$ の形が保たれる)。これを「有理数は四則演算について閉じている」という。

$2 + 32 = r$ (有理数)と仮定すると

$2 = \frac{r - 2}{3}$

右辺を見てほしい。 $r$ (有理数)から $2$ (有理数)を引き、 $3$ (有理数)で割った — 有理数の四則演算だけでできている。だから右辺は有理数だ。

すると $2$ が有理数 — 既知の事実「 $2$ は無理数」に真っ向から矛盾する。

矛盾の正体はこうだ。「無理数 $2$ 」が、有理数の世界に閉じ込められてしまった。閉じた世界からは出られないはずなのに、外の住人( $2$ )が中にいることになった — この不整合が矛盾である。

だから仮定が誤り。 $2 + 32$ は有理数ではありえない、つまり無理数だ。

「有理数 $+$ 有理数 $\times$ 無理数」は必ず無理数 — 同じ論法で $2 + 3$ や $\frac{1 + 5}{2}$ (黄金比)の無理性も示せる。閉じた世界と、その外の住人 — この構図が背理法の型である。