逆・裏・対偶とその真偽

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 4つの命題を独立に調べると、4回証明することになる。それは損だ。

「もとと対偶」「逆と裏」は真偽が必ず一致する。この構造を先に使えば、実質調べるのは2つで済む。

もとの命題と逆だけ真偽を確定し、残り2つは一致のルールで写す。作業を半分にしてから手を動かす。

もとの命題は『$n$ が3の倍数ならば、$n$ は6の倍数である』。

逆・裏・対偶

• 逆(入れかえ):『$n$ が6の倍数ならば、$n$ は3の倍数である』
• 裏(両方否定):『$n$ が3の倍数でないならば、$n$ は6の倍数でない』
• 対偶(入れかえて両方否定):『$n$ が6の倍数でないならば、$n$ は3の倍数でない』

真偽

• もとの命題: 3の倍数でも6の倍数とは限らない。$n=3$ は3の倍数だが6の倍数でない。反例 $n=3$ で偽。
• 逆: 6の倍数なら必ず3の倍数(6の倍数 $=6k=3\times 2k$)。真。
• 裏: 3の倍数でないなら6の倍数でもない(6の倍数は3の倍数だから、その対偶)。真。
• 対偶: 6の倍数でないなら3の倍数でない、は成り立たない。$n=3$ は6の倍数でないが3の倍数。反例 $n=3$ で偽。

もとの命題(偽)と対偶(偽)、逆(真)と裏(真)が、それぞれ真偽一致している。『もとと対偶、逆と裏はペアで真偽が同じ』が、ここでも確かめられる。

発展 — 一歩先へ。 「もとと対偶の真偽一致」は、次の対偶証明の技法を支える根拠だ。示しにくい命題を、示しやすい対偶に乗り換えてよいのは、この一致があるからである。

もう1つの教訓は「逆は保証されない」ということ。式変形や方程式の解法で、いつのまにか逆向きの主張にすり替わっていないかを疑う習慣は、この単元でいちばん実用的な収穫だ。

別解

集合の絵1枚で、4つの真偽をまとめて読むこともできる。

$3$ の倍数全体の集合と、$6$ の倍数全体の集合を思い浮かべる。$6$ の倍数の集合は、$3$ の倍数の集合の内側にすっぽり入る(逆は入らない。$3$ や $9$ がはみ出している)。

• もとの命題「$3$ の倍数 $\Rightarrow$ $6$ の倍数」は、外側が内側に含まれると主張している。偽で、はみ出した $n=3$ が反例。
• 逆「$6$ の倍数 $\Rightarrow$ $3$ の倍数」は、内側が外側に含まれるという主張。真。
• 対偶はもとと同じ包含の主張を裏返しに言っただけ(だから真偽一致)。裏は逆と同じ。

「⇒は包含」という翻訳を使うと、真偽一致のルールも図の中で当たり前に見える。