数学I / 集合と命題

集合の包含関係による真偽判定

★★ 標準命題と集合包含関係

問題

$x$ は実数とする。次の命題の真偽を、条件を満たす $x$ 全体の集合の包含関係を調べることで判定せよ。偽の場合は反例を 1 つ挙げよ。

(1) $1 < x < 4$ ならば $0 < x < 6$ である。

(2) $- 2 \leq x \leq 2$ ならば $- 1 \leq x \leq 4$ である。

ヒントを見る

各条件の範囲を集合にして数直線に。『 $P \subset Q$ なら真』。(2)は $P$ の端が $Q$ からはみ出していないか — はみ出した1点が反例になる。

解答・解説

命題『 $p$ ならば $q$ 』の真偽は、集合の包含 $P \subset Q$ で判断する。 $P \subset Q$ (PがQに入る)なら真、入らなければ偽で、はみ出す点が反例。

数直線に $P, Q$ をかいて、 $P$ が $Q$ にすっぽり入るか見る。端の含む・含まないに注意。

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 「集合の包含で判定せよ」という指定そのものがヒントだ。

条件を数直線の範囲に翻訳して、含み合いを見る。 $P$ が $Q$ にすっぽり入れば真。

はみ出た部分があれば偽で、そこにある具体的な数がそのまま反例になる。図と反例が直結しているのが、この方法の良さだ。

(1)

(1) P = (1, 4) ⊂ Q = (0, 6) なので真

$P = {x ∣ 1 < x < 4}, Q = {x ∣ 0 < x < 6}$

数直線でかくと、 $P$ ( $1$ から $4$ )は $Q$ ( $0$ から $6$ )の中にすっぽり入る。

$P \subset Q$

だから命題は真。

(2)

(2) P = [−2, 2] は Q = [−1, 4] からはみ出す(x = −2 が反例)→ 偽

$P = {x ∣ - 2 \leq x \leq 2}, Q = {x ∣ - 1 \leq x \leq 4}$

$P$ の左端 $- 2$ は、 $Q$ ( $- 1$ 以上)に入らない( $- 2 < - 1$ )。つまり $P$ は $Q$ からはみ出すので $P \subset Q$ ではない。命題は偽。反例は、はみ出す点 $x = - 2$ ( $P$ に入るが $Q$ に入らない)。

まとめ:包含関係を数直線で見ると、真偽も反例も一目でわかる。 $P$ が $Q$ からはみ出す点が反例だ。

発展 — 一歩先へ。 「命題の真偽を集合の包含で見る」翻訳は、このあとの必要条件・十分条件の判定の土台になる。矢印の議論がすべて、図形(範囲)の含み合いに置き換わる。

数学IIに進むと、数直線が座標平面に広がり、条件は「領域」になる。判定の原理は今日とまったく同じだ。

答

(1) 真 (2) 偽(反例: $x = - 2$ )

慣れてきたら、数直線を描かずに「端の比較」だけで判定することもできる。

区間が区間に含まれる条件は、左端どうし・右端どうしの比較に尽きる。 $P$ の左端が $Q$ の左端より右(またはぴったり)で、 $P$ の右端が $Q$ の右端より左(またはぴったり)なら、 $P \subset Q$ だ。

(1)は左端 $0 \leq 1$ 、右端 $4 \leq 6$ でどちらも合格。よって真。

(2)は左端の比較で $- 1 \leq - 2$ が不成立。 $P$ が左にはみ出している。はみ出した場所にある $x = - 2$ が、そのまま反例になる。

端の開閉( $\leq$ か $<$ か)が絡むときは等号の扱いに注意が要るが、「見るのは端だけ」という原則は変わらない。