補集合の条件から2つの集合を決定する

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 補集合の条件はまずド・モルガンで開く。$\overline{A\cup B}=\{6\}$ は $\overline{A}\cap \overline{B}=\{6\}$、つまり $A\cup B=\{1,2,3,4,5\}$。

全体を $4$ つの領域に仕分けるのが急所だ。「$A$ だけ」「両方」「$B$ だけ」「どちらでもない」。ベン図の $4$ マスに要素を割り当てる。

$A\cap B=\{2,4\}$(両方)、$\overline{A}\cap B=\{5\}$($B$ だけ)、$\overline{A\cup B}=\{6\}$(どちらでもない)。残った $\{1,3\}$ は「$A$ だけ」に入る。これで $A,B$ が確定する。

① 全体像をつかむ。 $\overline{A\cup B}=\{6\}$ より、どちらにも属さないのは $6$ だけ。よって $A\cup B=\{1,2,3,4,5\}$。

② 領域に仕分ける。 $A\cap B=\{2,4\}$(両方)、$\overline{A}\cap B=\{5\}$($B$ だけ)。残る $A\cup B$ の要素 $1,3$ は、両方でも $B$ だけでもないから「$A$ だけ」。

③ 組み立てる。

$$A=(\text{両方})\cup (A\text{ だけ})=\{2,4\}\cup \{1,3\}=\{1,2,3,4\}$$ $$B=(\text{両方})\cup (B\text{ だけ})=\{2,4\}\cup \{5\}=\{2,4,5\}$$

(検算:$A\cap B=\{2,4\}$、$A\cup B=\{1,2,3,4,5\}$、$\overline{A\cup B}=\{6\}$ すべて条件どおり。)

まとめ:$2$ 集合の要素決定は「$4$ 領域への仕分け」。補集合が出たらド・モルガンで裏返し、まず和集合(全体像)を確定してから各領域を埋めると迷わない。

発展 — 一歩先へ。 $n$ 個の集合があると、ベン図は $2^n$ 個のマスに平面を分ける($1$ 個で $2$、$2$ 個で $4$、$3$ 個で $8$)。各要素をどのマスに置くかで集合が完全に決まる。この「所属パターンで $2^n$ 通り」という見方は、包除原理や、論理式の真理値表($n$ 変数で $2^n$ 行)と同じ構造だ。

別解

別解 — ベン図の $4$ マスを $1,\dots ,6$ で埋める(視覚で確実なルート)。 全体集合 $U=\{1,2,3,4,5,6\}$ の各要素が、ベン図のどのマスに入るかを $1$ つずつ決める。マスは「$A$ のみ」「$A\cap B$」「$B$ のみ」「外側」の $4$ つ。

条件を直接マスに割り振る。

• $A\cap B=\{2,4\}$ → $2,4$ は中央のマス。
• $\overline{A}\cap B=\{5\}$ → $5$ は「$B$ のみ」のマス。
• $\overline{A\cup B}=\{6\}$ → $6$ は外側。

残るのは $1,3$。これらは外側($6$)でも、$B$ に属するマス($2,4,5$)でもないから、「$A$ のみ」のマスに入るしかない。

これで全マスが埋まった。$A=(A\text{ のみ})\cup (A\cap B)=\{1,3\}\cup \{2,4\}=\{1,2,3,4\}$、$B=\{2,4\}\cup \{5\}=\{2,4,5\}$。ド・モルガンで式変形する(本解)代わりに、「$6$ 個の要素を $4$ マスに仕分ける」と、消去法で残りが自動的に決まる。