数学I / 集合と命題

必要条件・十分条件の判定(反例の発見)

★★★ 応用必要条件・十分条件反例

問題

次の各場合について、 $p$ は $q$ であるための「必要十分条件である」「十分条件であるが必要条件でない」「必要条件であるが十分条件でない」「必要条件でも十分条件でもない」のうち、どれに当てはまるかを答えよ。

(1) $x, y$ は実数とする。 $p : x + y > 2$ かつ $x y > 1$ $q : x > 1$ かつ $y > 1$

(2) $n$ は整数とする。 $p : n^{2}$ は $3$ の倍数 $q : n$ は $3$ の倍数

(3) $x$ は実数とする。 $p : x^{2} ≦ 1$ $q : x ≦ 1$

(4) $x, y$ は実数とする。 $p : x y$ は有理数 $q : x, y$ はともに無理数

ヒントを見る

各矢印を反例で崩せるか試す。『必要十分』と言うには両方向とも反例が作れないことを確認。倍数がらみは $n = 3 k \pm 1$ などで場合分けして調べると反例が見える。

解答・解説

方針

$p \Rightarrow q$ 、 $q \Rightarrow p$ の2つを、それぞれ反例が作れるか調べる。

(2)は少し難しい。『 $n^{2}$ が3の倍数 ⇔ $n$ が3の倍数』の証明が要る。 $n$ が3の倍数でないと $n = 3 k \pm 1$ と書け、 $n^{2} = 3 (\dots) + 1$ で3の倍数でないことを示す(対偶)。

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 $p \Rightarrow q$ と $q \Rightarrow p$ の $2$ 本の矢印を、それぞれ反例で崩せるか試すのが基本だ。

ただし(2)は一筋縄でいかない。「 $n^{2}$ が $3$ の倍数 $\Rightarrow$ $n$ が $3$ の倍数」という橋が要ると気づけるかが分かれ目になる。

この橋は自明ではない。直接は示しにくいので対偶で架ける。判定問題の中に小さな証明問題が埋まっている、という構図だ。

公式

p \Rightarrow q

、

q \Rightarrow p

の真偽を反例で調べて、必要・十分・必要十分を判定

$p \Rightarrow q$ 、 $q \Rightarrow p$ を、反例が作れるかで調べる。

(1) $p : x + y > 2$ かつ $x y > 1$ 、 $q : x > 1$ かつ $y > 1$ 。 $q \Rightarrow p$ : $x > 1, y > 1$ なら和も積も大きく $p$ は成り立つ(真)。 $p \Rightarrow q$ : $x = 3, y = 0.5$ なら $x + y = 3.5 > 2$ 、 $x y = 1.5 > 1$ で $p$ は成り立つが、 $y > 1$ でない(偽)。よって $p$ は必要条件であるが十分条件でない。

(2) $p : n^{2}$ は3の倍数、 $q : n$ は3の倍数。 $q \Rightarrow p$ : $n = 3 k$ なら $n^{2} = 9 k^{2}$ で3の倍数(真)。 $p \Rightarrow q$ : 対偶『 $n$ が3の倍数でないなら $n^{2}$ も3の倍数でない』を示す。 $n$ が3の倍数でないと $n = 3 k \pm 1$ と書けて

$n^{2} = 9 k^{2} \pm 6 k + 1 = 3 (3 k^{2} \pm 2 k) + 1$

$3 \times (整数) + 1$ なので3の倍数でない。だから $p \Rightarrow q$ も真。両方真で必要十分条件。

(3) $p : x^{2} \leq 1$ 、 $q : x \leq 1$ 。 $x^{2} \leq 1$ は $- 1 \leq x \leq 1$ 。 $p \Rightarrow q$ : $- 1 \leq x \leq 1$ なら $x \leq 1$ (真)。 $q \Rightarrow p$ : $x = - 5$ は $x \leq 1$ だが $x^{2} = 25 > 1$ (偽)。よって十分条件であるが必要条件でない。

(4) $p : x y$ は有理数、 $q : x, y$ はともに無理数。 $p \Rightarrow q$ : $x = y = 1$ (有理数)でも $x y = 1$ は有理数だが $q$ でない(偽)。 $q \Rightarrow p$ : $x = 2, y = 3$ はともに無理数だが $x y = 6$ は無理数で $p$ でない(偽)。両方偽で必要条件でも十分条件でもない。

まとめ:各矢印を反例で確かめるのが基本。(2)のように直接示しにくい矢印は、対偶で証明する。

発展 — 一歩先へ。 (2)で効いた「 $3$ は素数だから $3 ∣ n^{2}$ なら $3 ∣ n$ 」は、素数の本質的な性質だ。一般に、素数 $p$ が積 $ab$ を割るなら、 $p$ は $a$ か $b$ の少なくとも一方を割る(ユークリッドの補題)。

この性質は合成数では崩れる。たとえば $4 ∣ 2 \cdot 2 = 4$ だが $4 ∤ 2$ 。 $2$ 以上の整数 $m$ について、含意「 $m ∣ ab$ ならば $m ∣ a$ または $m ∣ b$ 」が成り立つのは、 $m$ が素数のときに限る。

そしてこの補題こそが、素因数分解がただ $1$ 通りに定まること(一意性)を支える土台になっている。「素数かどうか」が割り算の世界の分かれ目なのだと分かる。

答

(1) 必要条件であるが十分条件でない (2) 必要十分条件である (3) 十分条件であるが必要条件でない (4) 必要条件でも十分条件でもない

別解

別解 — 条件を集合に翻訳し、包含で一望する(得意な人向けの視点)。 各条件が表す集合を書き、 $p$ の集合と $q$ の集合の包含を見る。 $p$ の集合が $q$ に含まれれば $p \Rightarrow q$ 、逆なら $q \Rightarrow p$ だ。

(1) $q = {x > 1 かつ y > 1}$ の点はすべて $x + y > 2$ かつ $x y > 1$ を満たすから $q \subset p$ 。逆に $p$ には $(x, y) = (3, \frac{1}{2})$ のように $q$ に入らない点がある。 $q ⊊ p$ で $p$ は必要のみ。

(2) $p = {n : 3 ∣ n^{2}}$ 、 $q = {n : 3 ∣ n}$ 。 $3$ は素数だから「 $3 ∣ n^{2} = n \cdot n$ なら $3 ∣ n$ 」(素数が積を割れば因数のどちらかを割る)。逆も明らかで $p = q$ 。必要十分。

(3) $p = {- 1 \leq x \leq 1} \subset q = {x \leq 1}$ 。 $q$ には $x = - 5$ など $p$ に入らない点があり $p ⊊ q$ 。 $p$ は十分のみ。

(4) $p = {x y \in Q}$ 、 $q = {x, y ともに無理数}$ 。 $(1, 1) \in p ∖ q$ 、 $(2, 3) \in q ∖ p$ 。互いにはみ出すのでどちらでもない。

矢印を $1$ 本ずつ反例で崩す本解に対し、集合の包含で $4$ つを同じ土俵に並べられる。とくに(2)は素数の性質を一度使えば $p = q$ が即座に見える。判定は本解と一致する。

ポイント

各矢印( $p \Rightarrow q$ 、 $q \Rightarrow p$ )を反例で確かめる
直接示しにくい矢印は対偶で示す( $n = 3 k \pm 1$ )
『 $n^{2}$ が3の倍数 ⇔ $n$ が3の倍数』は成り立つ

よくある間違い

(2)で対偶(または素数の性質)を使わず $p \Rightarrow q$ を直接示そうとして、手が止まる。
反例が $1$ つ見つかれば矢印は偽、を使わず、成り立つ場合を探し続けて時間を失う。
(4)で「無理数どうしの積は必ず有理数」と思い込み、 $q \Rightarrow p$ を真と誤る( $2 \cdot 3 = 6$ が反例)。