ド・モルガンの法則の利用

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 (2)を正面からやると、$\overline{A}$ と $\overline{B}$ を別々に作って和集合をとる。補集合を2回作る手間だ。

ド・モルガンの法則は「計算をラクにする乗り換え規則」である。$\overline{A}\cup \overline{B}$ は $\overline{A\cap B}$ に乗り換えられる。

こちらなら $A\cap B$ を1回求めて補集合をとるだけ。面倒な形を見た瞬間に、楽な形に書き換えられないか疑う。それがこの法則の使いどころだ。

$U$ は1〜10、$A=\{2,4,6,8,10\}$、$B=\{1,2,5,10\}$。

(1) $A\cup B$(どちらか一方でも)は

$$A\cup B=\{1,2,4,5,6,8,10\}$$

その補集合(以外)は

$$\overline{A\cup B}=\{3,7,9\}$$

(2) $\overline{A}\cup \overline{B}$ を、$\overline{A}$、$\overline{B}$ を別々に出さずに求める。ド・モルガンの法則

$$\overline{A}\cup \overline{B}=\overline{A\cap B}$$

を使う。まず $A\cap B$(両方に入る)は

$$A\cap B=\{2,10\}$$

その補集合をとって

$$\overline{A}\cup \overline{B}=\overline{A\cap B}=\{1,3,4,5,6,7,8,9\}$$

まとめ:ド・モルガンを使うと、補集合を2つ作る手間が省ける。$\cup$ と $\cap$ が入れかわる点に注意しよう。

発展 — 一歩先へ。 ド・モルガンの法則は、集合だけでなく論理でも同じ形で成り立つ。「$p$ かつ $q$」の否定は「$p$ でない、または $q$ でない」。

集合の $\cap ,\cup ,\overline{}$ と、論理の「かつ・または・でない」は同じ構造の表裏だ。あとで学ぶ「すべて・ある」の否定の規則も、この仲間に加わる。

別解

ド・モルガンを使わず、$\overline{A}=\{1,3,5,7,9\}$、$\overline{B}=\{3,4,6,7,8,9\}$ を別々に出して和集合をとってもよい。

$$\overline{A}\cup \overline{B}=\{1,3,4,5,6,7,8,9\}$$

同じ答えになる。ド・モルガンは、この手間を短くする道具だ。