集合と命題の解説

集合と命題は、計算がほとんど出てこない単元です。そのぶん、「言葉の意味を正確に使う」ことがすべてで、必要条件と十分条件の向き、否定の作り方、対偶と背理法の使い分けを、あいまいにしたまま先に進むと、数学II以降の証明問題で毎回失点します。この記事では、この単元で正確にしておくべき4つの事項と、練習の順序を説明します。

集合は「図に描ける」ようにする

集合の計算(共通部分・和集合・補集合)は、ベン図か数直線に描けば間違えません。要素を列挙できる集合はベン図に、不等式で表された集合は数直線に描きます。数直線上の集合の共通部分・和集合は、この描き方の練習です。

ド・モルガンの法則 $\overline{A\cup B}=\overline{A}\cap \overline{B}$、$\overline{A\cap B}=\overline{A}\cup \overline{B}$ は、暗記するより、ベン図で「和集合の外側」を塗ってみると自然に見えます。ド・モルガンの法則の確認で図と式を対応させてください。

「$A\subset B$ となるように定数を定める」型の問題(標準の部分集合となる条件から定数を求める)は、数直線に2つの範囲を描き、境界の値を含むかどうかを1つずつ確認します。境界の扱いは、この単元で最も細かい注意が要る場所です。

必要条件と十分条件は「矢印の向き」

「$p$ は $q$ であるための〇〇条件」を判定するには、$p\Rightarrow q$ と $q\Rightarrow p$ の2つの矢印が成り立つかをそれぞれ調べます。$p\Rightarrow q$ が真なら $p$ は十分条件、$q\Rightarrow p$ が真なら $p$ は必要条件、両方なら必要十分条件です。

判定を集合で考えると確実です。$p$ を満たすものの集合を $P$、$q$ を満たすものの集合を $Q$ とすると、$p\Rightarrow q$ が真であることと $P\subset Q$ は同じです。「小さい集合のほうが十分条件」と覚えると、向きを取り違えません。必要条件・十分条件の判定から標準の同名の問題、応用の反例の発見まで、矢印を1本ずつ検証する練習を重ねてください。

命題が偽であることを示すには、反例を1つ挙げれば足ります。「$x^2=4$ ならば $x=2$」は $x=-2$ が反例です。反例を探すときは、「条件を満たすのに結論を満たさないもの」を探す、という順序で考えます。

否定の作り方

「すべての $x$ について $p$」の否定は「ある $x$ について $p$ でない」、「ある $x$ について $p$」の否定は「すべての $x$ について $p$ でない」です。「すべて」と「ある」が入れ替わり、中身が否定されます。「かつ」の否定は「または」、「または」の否定は「かつ」で、これはド・モルガンの法則と同じ構造です。

この操作は機械的にできるようにしておく必要があります。「すべて」と「ある」の否定、標準の同名の問題、応用の「すべて」の命題の真偽と否定で、入れ子になった命題まで練習できます。

対偶と背理法の使い分け

「$p\Rightarrow q$」を直接示しにくいとき、対偶「$q$ でない $\Rightarrow$ $p$ でない」を示せば同じことです。「$n^2$ が偶数ならば $n$ は偶数」のように、結論の否定($n$ が奇数)のほうが扱いやすい場合に使います。対偶を利用する証明と応用の対偶を利用する証明の応用で型を固めてください。

背理法は、「結論を否定して矛盾を導く」方法で、$\sqrt{2}$ が無理数であることの証明が代表です。「有理数だと仮定して $\frac{p}{q}$(既約分数)とおく」ところから始め、$p$ と $q$ がともに偶数になって既約に矛盾する、という流れです。背理法による証明、標準の無理数の証明、応用の同名の問題と進み、難関(★★★★)の和の無理数で「$\sqrt{2}+\sqrt{3}$ が無理数」のような、結論の否定から式を作る問題まで登れます。

対偶と背理法の違いは、対偶が「$p\Rightarrow q$」の形の命題にしか使えないのに対し、背理法は「〜である」というどんな主張にも使える点です。逆に言うと、命題が「ならば」の形なら、まず対偶を試すのが自然です。

学習の順序

基礎12問は、集合の表し方から始まり、集合の演算、命題の真偽と反例、必要十分条件、逆・裏・対偶、対偶による証明、背理法、否定の作り方の順です。標準12問は同じ順序で少し複雑な設定にし、最後の2問で「定数の範囲を求める」型を扱います。応用8問は、絶対値で定められた集合、定数の範囲、有理数・無理数と係数決定など、他の単元の道具を借りる問題です。

入試での出方

この単元は、単独の大問としてより、証明問題の「書き方」として全範囲に顔を出します。整数の証明(数学A)、不等式の証明(数学II)、存在条件の議論(数学IIの領域)はすべて、この単元の対偶・背理法・必要十分の言葉で書きます。

実戦編と最難関編には、素数が無限にあること、${\log }_{2}3$ が無理数であること、鳩の巣原理、調和数が整数にならないことなど、有名な論証を集めました。計算はほとんどなく、「何を仮定して何を導くか」の筋道だけで解く問題です。この単元の本来の力を試すのに適しています。