数学I / 集合と命題

背理法による無理数の証明

★★ 標準背理法無理数

問題

$2$ が無理数であることを用いて、 $3 - 22$ が無理数であることを背理法により証明せよ。

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『 $3 - 22$ は有理数 $r$ 』と仮定。 $2$ について解くと、右辺は有理数になる。これは $2$ が無理数であることに反する — その矛盾を示す。

解答・解説

『 $3 - 22$ は無理数』を示す。背理法で、反対に『 $3 - 22$ は有理数』と仮定する。

式変形で $2$ が有理数になってしまい、『 $2$ は無理数』に矛盾。矛盾が出れば仮定が誤りで、結論が正しい。

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 「無理数である」は否定形の主張だ(分数で書けない、ということ)。否定形は直接には手が出ない。

そこで反対を仮定する。「 $3 - 22$ は有理数だ」と仮定して、式変形で矛盾を作りに行く。

衝突先は最初から決まっている。既知の事実「 $2$ は無理数」だ。仮定から $2$ を分離して、有理数になってしまう形に持ち込む。

重要背理法:結論を否定して仮定し、矛盾(

2

が有理数など)を導く

背理法を使う。反対に、 $3 - 22$ が有理数であると仮定し、その値を $r$ とする。

$3 - 22 = r$

$2$ について解く。

$22 = 3 - r$

両辺を2で割って

$2 = \frac{3 - r}{2}$

右辺 $\frac{3 - r}{2}$ は、有理数 $r$ から作った有理数。つまり $2$ が有理数、となる。

でもこれは『 $2$ は無理数』に矛盾する。矛盾が出たのは、仮定『 $3 - 22$ は有理数』が間違っていたから。

よって $3 - 22$ は無理数である。(証明終わり)

まとめ:背理法は『反対を仮定 → $2$ について解く → 有理数になって矛盾 → 結論が正しい』の型。無理数の証明の定番だ。

発展 — 一歩先へ。 前提に使った「 $2$ は無理数」自体も、背理法で証明される(分数 $\frac{p}{q}$ と書けたとして、偶奇の矛盾を導く。応用問題で登場する)。

背理法が効くのは「〜でない」「存在しない」型の主張だ。正面から示せない形を見たら、反対を仮定して衝突を探す。この構えは数学のあらゆる場所で使われている。

答

$3 - 22$ が有理数であると仮定して $r$ とおくと $2 = \frac{3 - r}{2}$ となり、右辺は有理数なので $2$ が無理数であることに矛盾する。よって $3 - 22$ は無理数である。(証明の詳細は解答参照)

この論法は、実は一般化できる。見晴らしのよい形で覚えておくと強い。

主張はこうだ。 $a$ 、 $b$ が有理数で $b \neq = 0$ なら、 $a + b 2$ は必ず無理数になる。

証明は今回とまったく同じ。 $a + b 2 = r$ (有理数)と仮定すると、 $2 = \frac{r - a}{b}$ 。有理数どうしの引き算と割り算の結果は有理数だから、右辺は有理数。 $2$ が無理数であることに矛盾する。

今回の問題は $a = 3$ 、 $b = - 2$ の特例にすぎない。

論法の心臓部は「有理数の世界は四則演算で閉じている」という事実だ。有理数だけをいくら足し引きし、掛け割りしても、世界の外(無理数)へは出られない。だから $2$ が世界の中に引きずり込まれた瞬間、矛盾が起きる。