数直線上の集合の共通部分・和集合

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 範囲で決まる集合($x$ の不等式)は、数直線に描くのが第一手。

$A=[-1,4)$ と $B=(2,6]$ を、上下 $2$ 段に矢印で描く。端は白丸($<$、含まない)と黒丸($\leqq$、含む)を区別して。

• $\cap$ は $2$ 本の重なり
• $\cup$ は $2$ 本を合わせた範囲
• $\overline{A}$ は $A$ 以外

端の等号は、絵の丸の色をそのまま写せばよい。補集合では丸の色が反転する(含む ↔ 含まない)ことに注意。

$A=\{x\mid -1\le x<4\}$、$B=\{x\mid 2<x\le 6\}$ を数直線にかいて考える。

(1) 共通部分は、2つの範囲が重なるところ。$A$ は $-1$ から $4$ の手前、$B$ は $2$ より右から $6$。重なりは $2$ より右で $4$ の手前。

$$A\cap B=\{x\mid 2<x<4\}$$

(2) 和集合は、2つを合わせた範囲。$-1$(含む)から $6$(含む)まで全部つながる。

$$A\cup B=\{x\mid -1\leqq x\leqq 6\}$$

(3) 補集合 $\overline{A}$ は、$A=\{-1\le x<4\}$ 以外の範囲。$-1$ より左(=$-1$ 未満)と、$4$ 以上。

$$\overline{A}=\{x\mid x<-1\text{または}4\leqq x\}$$

まとめ:補集合は端の含む・含まないが入れかわる($-1$ は $A$ で含んだので $\overline{A}$ では含まない、$4$ は $A$ で含まなかったので $\overline{A}$ では含む)。数直線をかくと、この入れかわりも目で見える。

発展 — 一歩先へ。 数直線の集合は「連立不等式($\cap$)」「または($\cup$)」と同じもの — 前の単元で解いた $2\leqq x<4$ という答えが、ここでは $A\cap B$ という集合として再登場する。不等式を解く行為は、実は「解の集合を求める」ことだった、と視点が上がる。

補集合が「または」で $2$ つに割れるのは、絶対値の不等式 $|x|>c$ が $2$ つの範囲になるのと同じ構造。内側の $1$ かたまり ↔ 外側の $2$ つという双対は、この単元のド・モルガンの法則($\cap$ と $\cup$ が補集合で入れ替わる)そのものの現れである。

別解

端の等号を間違えないための、境界での代入チェックを身につけよう。

疑わしい境界の値を、実際に条件に入れて $◯\times$ を判定する。

$\cap$ の端 $x=4$: $A$ は $-1\leqq x<4$ なので $4$ は入らない(×)。だから $A\cap B$ にも入らない — 答えの右端は $x<4$(白丸)。

$\cup$ の端 $x=-1$: $A$ に $-1$ は入る(●)。だから $A\cup B$ にも入る — 左端は $-1\leqq x$(黒丸)。

$\overline{A}$ の端 $x=4$: $A$ に $4$ が入らない ⟹ 補集合には入る(●)。$x=-1$ は $A$ に入る ⟹ 補集合には入らない(○)。

$$\overline{A}=\{x\mid x<-1\text{または}4\leqq x\}$$

補集合をとると、丸の色が必ず反転する — 「$A$ で含む端は補集合では含まない、$A$ で含まない端は補集合では含む」。この反転の規則を知っていれば、$\overline{A}$ の等号は考えずに機械的に書ける。

境界 $1$ 点の $◯\times$ 判定 — たった $1$ 回の代入で、答案の減点要因(等号の取り違え)がほぼ全部消える。