数学I / 集合と命題

共通部分・和集合・補集合

★★ 標準集合の演算補集合

問題

$12$ 以下の自然数全体を全体集合 $U$ とする。 $U$ の部分集合 $A, B$ を、 $A$ は $12$ の正の約数全体の集合、 $B$ は $12$ 以下の $3$ の倍数全体の集合とする。次の集合を、要素を書き並べる方法で表せ。

(1) $A \cap B$

(2) $A \cup B$

(3) $\overline{A}$

(4) $\overline{A} \cap B$

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まず $A$ 、 $B$ を書き出す。 $\overline{A} \cap B$ は『 $B$ の要素のうち $A$ に入らないもの』— 言葉のとおりに拾えばよい。全体集合 $U$ が何かを忘れずに。

解答・解説

$A$ (12の約数)と $B$ (3の倍数)の要素を書き出し、ベン図にすると読みやすい。

$\cap$ は両方、 $\cup$ はどちらか、 $\overline{A}$ はAに入らない全体の要素。(4)の $\overline{A} \cap B$ は『Aに入らず、かつBに入る』を拾う。

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 要素を書き出せるサイズなら、まずベン図に全要素を配置してしまう。

そのあとの問いは、すべて図から読み取るだけの作業に変わる。

手を動かす順序は「書き出し → 配置 → 読み取り」。 $\cap$ は両方、 $\cup$ はどちらか、 $\overline{A}$ は $A$ の外。記号を日常語に訳しながら読めば迷わない。

A = {1,2,3,4,6,12}(12の約数)、B = {3,6,9,12}(3の倍数)— 色部分が A ∩ B

$A$ は12の約数、 $B$ は12以下の3の倍数。

$A = {1, 2, 3, 4, 6, 12}$

$B = {3, 6, 9, 12}$

(1) 共通部分(両方に入る)。

$A \cap B = {3, 6, 12}$

(2) 和集合(どちらか一方でも)。

$A \cup B = {1, 2, 3, 4, 6, 9, 12}$

(3) 補集合(Aに入らない、 $U =$ 1〜12 の要素)。

$\overline{A} = {5, 7, 8, 9, 10, 11}$

(4) $\overline{A} \cap B$ は『Aに入らず、かつBに入る』。 $B = {3, 6, 9, 12}$ のうち、Aに入らないのは9だけ(3,6,12はAにも入る)。

$\overline{A} \cap B = {9}$

まとめ: $\overline{A} \cap B$ は『 $B$ の中で $A$ に入らないもの』と読むと速い。

発展 — 一歩先へ。 別解の所属表は、集合が増えても行を増やすだけで通用する。ベン図が描きにくい4集合以上でも使える、地味だが強い道具だ。

この先、数学Aの場合の数で「要素の個数」を数える段階に進むと、 $n (A \cup B) = n (A) + n (B) - n (A \cap B)$ という個数の法則が主役になる。今日の「要素を正確に仕分ける」作業は、その土台になっている。

答

(1) $A \cap B = {3, 6, 12}$ (2) $A \cup B = {1, 2, 3, 4, 6, 9, 12}$ (3) $\overline{A} = {5, 7, 8, 9, 10, 11}$ (4) $\overline{A} \cap B = {9}$

ベン図の代わりに、「所属表」で機械的に処理する方法もある。

$1$ から $12$ を縦に並べ、各数に「 $A$ に入るか」「 $B$ に入るか」の○×を付けていく。

図を描くのが苦手でも、表なら全要素を確実に検分できる。要素の数が多いときや、集合が3つに増えたときは、ベン図よりこちらのほうが強いこともある。