「すべて」の命題の真偽と否定

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 「$0\le x\le 2$ のすべての $x$ で成り立つ」を、$x$ を $1$ つずつ調べて確かめるのは無理だ。無限個あるからだ。

そこで $ax+1$ が $1$ 次式、つまりグラフが直線であることに注目する。直線が区間の両端で正なら、間もすべて正になる。

すると無限個の条件が、端 $2$ つ $x=0,x=2$ での条件に圧縮される。この圧縮が発想の核だ。

$f(x)=ax+1$ は1次関数(直線)。直線が区間 $0\le x\le 2$ でずっと正になるのは、両端で正のとき。

(1)

$$P\text{ が真}⟺f(0)>0\text{かつ}f(2)>0$$

それぞれ計算する。

$$f(0)=1>0\text{(常に成立)},f(2)=2a+1>0⟺a>-\frac{1}{2}$$

$f(0)=1$ はいつも正なので、条件は $f(2)>0$ だけ。よって

$$a>-\frac{1}{2}$$

(2) $P$ の否定は、『すべて』→『ある』、$ax+1>0$ → $ax+1\le 0$ で作る。

$$\overline{P}:「0\leqq x\leqq 2\text{ を満たすある実数 }x\text{ について }ax+1\leqq 0」$$

$\overline{P}$ が真なのは、$P$ が偽のとき。$P$ が真は $a>-\frac{1}{2}$ だったので、$\overline{P}$ が真はその反対で

$$a\leqq -\frac{1}{2}$$

まとめ:『直線は端で正なら間も正』を使うと、すべての $x$ の条件が端の2点だけの条件になる。$P$ の否定は『すべて→ある、$>$→$\le$』で作る。

発展 — 一歩先へ。 $P$ が真になる $a$ は $a>-\frac{1}{2}$、否定 $\overline{P}$ が真になる $a$ は $a\le -\frac{1}{2}$。この $2$ つはちょうど実数全体を重なりなく $2$ つに分ける(互いに補集合)。

面白いのは境界 $a=-\frac{1}{2}$ の行き先だ。このとき $x=2$ で $ax+1=0$ となり、$>0$ を満たさない。だから $a=-\frac{1}{2}$ は $\overline{P}$ 側に属する。

もとの条件が $>0$(等号なし)だから、境界は $\le 0$ を含む $\overline{P}$ に落ちる。$P$ の範囲が開いた不等式 $a>-\frac{1}{2}$ に、$\overline{P}$ が閉じた $a\le -\frac{1}{2}$ になる、その境目の扱いがきれいに対応している。

別解

別解 — $a$ について解いて、いちばん厳しい $x$ を探す(得意な人向けの視点)。 各 $x$ ごとに $ax+1>0$ を $a$ の条件に読みかえ、すべての $x$ で成り立つよう重ねる。

$x=0$ のときは $a\cdot 0+1=1>0$ で、$a$ によらず成り立つ。ここは自由だ。

$0<x\le 2$ のときは $ax>-1$、両辺を正の $x$ で割って $a>-\frac{1}{x}$。これがすべての $x$ で必要だから、$-\frac{1}{x}$ が最も大きくなる $x$ を押さえればよい。

$-\frac{1}{x}$ は $x$ が大きいほど大きく、$0<x\le 2$ では $x=2$ で最大の $-\frac{1}{2}$。よって条件は $a>-\frac{1}{2}$ にまとまる。

直線の両端を調べる本解に対し、こちらは $a$ を分離し「いちばん厳しい $x$($=2$)」に条件を集約する。定数を分離して最悪の点を押さえるこの見方は、幅広い「すべての $x$ で成り立つ」問題に効く。本解と同じ $a>-\frac{1}{2}$ を得る。