数学I / 集合と命題

2つの有理数の間には無理数がある

最難関編無理数存在の構成

問題

$a < b$ を満たすどんな有理数 $a, b$ に対しても、 $a < c < b$ を満たす無理数 $c$ が存在することを示せ。

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「存在する」を示すには、実際に作ってみせるのが早い。区間の中の点は「a + (幅)×(0と1の間の数)」の形 — その「0と1の間の数」に無理数を仕込むと、できあがった点はどうなるか。

解答・解説

存在の証明は「具体的に1つ作る」のが最強。区間の幅 b−a を 1/√2 倍だけ進んだ点 c=a+(b−a)/√2 を候補にする: 0<1/√2<1 だから c は区間の内部にあり、もし c が有理数なら √2=(b−a)/(c−a) が有理数になって矛盾する。

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 存在証明の最短路は構成だ。条件を満たすものを、式で1つ作ってみせる。

区間 $(a, b)$ の点は $a + (b - a) t$ ( $0 < t < 1$ )の形に書ける。そこで $t$ に、0と1の間の無理数 $\frac{1}{2}$ を仕込む:

$c = a + \frac{b - a}{2}$

あとは2つの確認で完成する。「区間に入る」( $0 < \frac{1}{2} < 1$ から即)。そして「無理数である」(有理数と仮定すると $2$ が有理数の式で書けて矛盾)。

重要存在は構成で: 区間の点は

a + (b - a) t

。「(有理数)+(0でない有理数)×(無理数)は無理数」— 有理数の世界は四則で閉じている

① 候補を作る。 $c = a + \frac{b - a}{2}$ とおく( $a, b$ は有理数、 $b - a > 0$ )。

② 区間に入ることを確かめる。 $1 < 2 < 2$ より $0 < \frac{1}{2} < 1$ 。 $b - a > 0$ を掛けて $0 < \frac{b - a}{2} < b - a$ 。各辺に $a$ を足して

$a < c < b$

a=0, b=1 の例。幅 b−a の 1/√2 ≈ 0.707 倍だけ進んだ点 c は、区間の内部に入る。そして √2 由来だから無理数になる

③ 無理数であることを確かめる。 $c$ が有理数と仮定すると

$2 = \frac{b - a}{c - a}$

( $c \neq = a$ は②から)。右辺は有理数の四則でできた有理数。 $2$ が無理数であることに矛盾する。よって $c$ は無理数で、求める点が存在する。

まとめ: 「存在せよ、と言われたら作ってみせる」。構成的証明の見本だ。仕込みに使えるのは $\frac{1}{2}$ に限らず、0と1の間の無理数なら何でもよい。この事実は「どんなに狭い区間にも無理数がぎっしり詰まっている」ことを意味する。

発展 — 一歩先へ。 逆向きも成り立つ。どんな2つの無理数の間にも有理数がある(小数表示を途中で打ち切って作る)。合わせると、数直線の上で有理数と無理数は、どちらも「どんな短い区間にも現れる」ほど細かく織り合わさっている。この性質を稠密という。

答

証明( $c = a + \frac{b - a}{2}$ が無理数で、 $0 < \frac{1}{2} < 1$ から $a < c < b$ )

小さすぎる一歩を足す(もう1つの構成)。 区間の幅に合わせて割る代わりに、「十分小さい無理数の歩幅」を $a$ に足す作り方もある。

$2$ を半分、また半分、と割っていく: $\frac{2}{2}, \frac{2}{4}, \frac{2}{8}, \dots$ 倍々で割るのだから、いずれ区間の幅 $b - a$ より小さくなる。そこで

$c = a + \frac{2}{2 ^{n}} (\frac{2}{2 ^{n}} < b - a となる n)$

とおけば、 $a < c < a + (b - a) = b$ で区間に入る。無理数であることは本解と同じ背理法( $c$ 有理なら $2 = 2^{n} (c - a)$ が有理で矛盾)。

この作り方の教訓は2つ。無理数はいくらでも小さく作れること。そして「有理数+0でない有理数×無理数=無理数」という道具は、歩幅がどんな形でも同じように働くことだ。構成は一通りではない。