「すべて」と「ある」の否定

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 否定づくりは2段の作業だ。「すべて」と「ある」を入れかえる。そして中身の条件も否定する($>$ は $\le$ に、$=$ は $\ne$ に)。

どちらが真かの判定には、便利な原理がある。もとの命題と否定は、必ずどちらか一方だけが真になる。

だから、判定しやすいほうを調べればよい。例や反例が1つ見つかる側から攻めるのが早い。

(1) 『すべての実数 $x$ で $x^2>0$』の否定は、『すべて』→『ある』、$x^2>0$→$x^2\le 0$。

否定:『ある実数 $x$ で $x^2\le 0$』

$x=0$ で $x^2=0\le 0$ となる。だから否定が真(もとは偽)。

(2) 『ある自然数 $n$ で $n^2=3n$』の否定は、『ある』→『すべて』、$n^2=3n$→$n^2\ne 3n$。

否定:『すべての自然数 $n$ で $n^2\ne 3n$』

$n=3$ で $n^2=9=3\times 3=3n$ となる。だからもとの命題が真(否定は偽)。

(3) 『すべての実数 $x$ で $|x|=x$』の否定は、『すべて』→『ある』、$|x|=x$→$|x|\ne x$。

否定:『ある実数 $x$ で $|x|\ne x$』

$x=-1$ で $|-1|=1\ne -1$ となる。だから否定が真(もとは偽。$x$ が負のとき $|x|\ne x$)。

まとめ:『すべて⇔ある』と中身の否定、そしてどちらが真かは1つの例で判断。この流れを押さえよう。

発展 — 一歩先へ。 証明の負担は非対称だ。存在の主張は例を1つ出せば終わる。全称の主張は、すべての場合を貫く理由(文字での計算)が要る。

この非対称を意識すると、問題ごとに「いま自分は例を出せばよいのか、理由を書くべきなのか」が明確になる。「すべて↔ある」の入れかえ規則は、ド・モルガンの法則の親戚でもある。

別解

「すべての $x$ で $P$」の否定は「$P$ の反例が存在する」。こう読み替えると、真偽判定が「反例探しゲーム」に統一される。

(1) 反例 $x=0$ が見つかる($0^2=0$ は $>0$ でない)。反例がある以上、もとの命題の負け。否定が真だ。

(2)は「ある」の命題なので、成り立つ例を1つ探すゲームになる。$n=3$ で $9=9$。例が見つかったから、もとの命題の勝ち。

(3) 反例 $x=-1$($|-1|=1\ne -1$)。否定が真。

「全称の主張は反例1つで倒れる。存在の主張は例1つで立つ」。勝敗の条件を先に押さえておくと、どの問題も同じ構図で見える。