数学I / 集合と命題

命題の真偽と反例

★★ 標準命題反例

問題

次の命題の真偽を調べよ。偽であるものについては反例を 1 つ挙げよ。ただし、 $x, y$ は実数、 $n$ は自然数とする。

(1) $x \geq 0$ ならば $x^{2} \geq x$ である。

(2) $n$ が $6$ の倍数ならば、 $n$ は $3$ の倍数である。

(3) $x + y > 2$ ならば、 $x > 1$ かつ $y > 1$ である。

(4) $x, y$ がともに無理数ならば、積 $x y$ は無理数である。

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怪しい命題は、成り立たない具体例を探す。(1)は $0$ と $1$ の間の小さい数を試すと? (3)は片方を $0$ にすると? (4)は無理数どうしの積が有理数になる例(同じものどうし等)を。

解答・解説

『 $p$ ならば $q$ 』は反例が1つでもあれば偽。偽を疑って反例を探すのが基本。

特に注意 — (1)0と1の間の数( $x = \frac{1}{2}$ )、(3)一方が0の場合、(4) $2 \times 2 = 2$ (無理数どうしでも積が有理数)、といった『思いつきにくい例』が反例になりやすい。

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 真偽判定は、まず「偽を疑って反例探し」から始める。

反例の狙い目は決まっている。 $0$ 。 $0$ と $1$ の間の分数。負の数。そして無理数どうしの積。

「成り立ちそうに見える命題ほど、境界のケースで壊れる」。この疑いの目で4つを順に読んでいく。

重要偽を示すには反例を1つ挙げれば十分

反例が1つでもあれば偽。偽を疑って反例を探す。

(1) $x \geq 0$ でも $x^{2} \geq x$ とは限らない。 $0 < x < 1$ では2乗すると小さくなる。 $x = \frac{1}{2}$ なら

$x^{2} = \frac{1}{4} < \frac{1}{2} = x$

反例 $x = \frac{1}{2}$ で偽。

(2) $n$ が6の倍数なら、 $n = 6 k$ と書けて

$n = 6 k = 3 \times 2 k$

3の倍数でもある。だから真。

(3) $x + y > 2$ でも『 $x > 1$ かつ $y > 1$ 』とは限らない。 $x = 3, y = 0$ なら $x + y = 3 > 2$ だが、 $y > 1$ でない。反例 $x = 3, y = 0$ で偽。

(4) 無理数どうしの積が、いつも無理数とは限らない。 $x = y = 2$ なら

$x y = 2 \times 2 = 2$

で有理数になる。反例 $x = y = 2$ で偽。

まとめ:真偽の判定は、まず反例を疑うこと。 $0 < x < 1$ の数、一方が0、 $2 \times 2 = 2$ など、意外な例が反例になる。

発展 — 一歩先へ。 反例の宝庫( $0$ ・ $1$ 未満の分数・負の数・無理数の積)は、この先もずっと使える「疑いのチェックリスト」だ。

そして真偽の証明は非対称であることも覚えておきたい。偽は反例1つで決まるが、真の側は「すべての場合に成り立つ理由」が要る。(2)を真と言い切るには、 $n = 6 k$ とおいた計算( $6 k = 3 \times 2 k$ )が根拠になっている。

答

(1) 偽(反例: $x = \frac{1}{2}$ ) (2) 真 (3) 偽(反例: $x = 3, y = 0$ ) (4) 偽(反例: $x = y = 2$ )

(1)は、反例を「探す」のではなく、不等式を解いて反例の在り処を「全部決定」することもできる。

$x^{2} \geq x$ を移項すると $x (x - 1) \geq 0$ 。これが崩れるのは $x (x - 1) < 0$ 、つまり $0 < x < 1$ のときだけだ。

だから反例は「 $0$ と $1$ の間の数ぜんぶ」。 $x = \frac{1}{2}$ はその代表にすぎない。

探し物が見つからないとき、「無いのか、見落としているのか」を式が教えてくれる。反例探しに不安が残る人ほど、この「在り処を式で割り出す」ルートが効く。