共通部分の要素数の最大・最小(集合と数え上げ)

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 $x=n(A\cap B)$ とおいて、$x$ が満たすべき制約を全部並べる。

上からは「共通部分は小さい方の集合を超えられない」: $x\le 25$。

下からは、和集合の公式 $n(A\cup B)=30+25-x$ が全体 $40$ を超えられないこと: $55-x\le 40$、つまり $x\ge 15$。あとは両端が実際に実現できる配置(図)を示して、最大 $25$・最小 $15$ が確定する。

① 最大。 $A\cap B\subset B$ だから $n(A\cap B)\le n(B)=25$。等号は $B\subset A$(このとき $A\cap B=B$)。$n(A)=30\ge 25$ だから $B\subset A$ は可能。よって最大 $25$。

② 最小。 包除より $n(A\cap B)=n(A)+n(B)-n(A\cup B)=55-n(A\cup B)$。$n(A\cup B)\le n(U)=40$ だから $$n(A\cap B)\ge 55-40=15.$$ 等号は $A\cup B=U$(全体を覆う)とき。$n(A)+n(B)=55>40=n(U)$ なので必ず重なりがあり、$A\cup B=U$ は可能。よって最小 $15$。

③ 結論。 最大 $25$、最小 $15$。

まとめ $n(A\cap B)$ は $B\subset A$ で最大 $25$、$A\cup B=U$ で最小 $55-40=15$。集合(包除)と最大最小の融合。

発展 — 一歩先へ。 一般式は $\max (0,n(A)+n(B)-n(U))\le n(A\cap B)\le \min (n(A),n(B))$。下限に $\max$ がつくのは、合計が全体に収まるとき($n(A)+n(B)\le n(U)$)は交わりゼロが可能だから。この評価は確率版($P(A\cap B)\ge P(A)+P(B)-1$、ボンフェローニの不等式)として統計でも働く、実用の不等式だ。

別解

「どちらでもない人数」で読む(制約の意味が見える)。 $x=n(A\cap B)$ とおいて、ベン図の4部屋を $x$ で表す:

• $A$ のみ: $30-x$、$B$ のみ: $25-x$、両方: $x$、どちらでもない: $40-(55-x)=x-15$

4部屋とも人数だから $0$ 以上。$30-x\ge 0,25-x\ge 0$ から $x\le 25$、そして

$$x-15\ge 0⟺x\ge 15$$

— 下限 $15$ の正体は「どちらでもない人が負の人数になれない」ことだった。$x=25$ は $B$ のみ $=0$($B\subset A$)、$x=15$ は どちらでもない $=0$($A\cup B=U$)で、どちらも実現できる。

不等式を機械的に並べる(本解)のに対し、4部屋の人数に翻訳すると、各不等式が「誰が0人になる配置か」という絵として読める。最大・最小の実現例も、この絵から自動で出てくる。