x²−x と x³−x が有理数なら x は有理数

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 与えられた2つの量 $a=x^2-x$ と $b=x^3-x$ の、間の関係を探すのが第一手だ。$b$ を $a$ で割ってみると

$$x^3-x=x(x^2-x)+(x^2-x)=(x+1)(x^2-x)$$

きれいな恒等式が出る。$a\ne 0$ なら $x+1=\frac{b}{a}$ は有理数どうしの商で有理数。よって $x$ も有理数だ。$a=0$ の場合は $x^2=x$ から $x=0,1$ で片づく。

後半は、「条件を1つに減らすと崩れるか」という問いだ。$x^2-x=$ 有理数、を満たす無理数を2次方程式の解から逆算する。$x^2-x-1=0$ の解 $\frac{1+\sqrt{5}}{2}$ が、まさに反例になる。

① $a\ne 0$ の場合。 $a=x^2-x,b=x^3-x$ とおくと、上の恒等式から $b=(x+1)a$。$a\ne 0$ なら

$$x=\frac{b}{a}-1$$

右辺は有理数の四則だけでできているから有理数。$x$ は有理数である。

② $a=0$ の場合。 $x^2-x=0$ より $x(x-1)=0$。$x=0$ または $x=1$ で、どちらも有理数。①②より前半が示された。

③ 後半は誤り(反例)。 $x=\frac{1+\sqrt{5}}{2}$ は $x^2-x-1=0$ の解だから、$x^2-x=1$(有理数)。しかし $x$ は無理数だ($x$ が有理数なら $\sqrt{5}=2x-1$ も有理数になって矛盾)。よって「$x^2-x$ が有理数 ⟹ $x$ 有理数」は偽である。

なお、この $x$ では $x^3-x=(x+1)\cdot 1=x+1$ が無理数になっており、前半の主張と整合している。

まとめ: 前半は「2つの量の間の恒等式を割り算で発見する」。後半は「条件を1つ外すと、2次方程式の無理数解が反例になる」。証明と反例の両輪で、条件の強さの境目をぴったり見極める問題だ。0で割る場合の分離という作法も込みで、論証の総合演習になっている。

発展 — 一歩先へ。 反例の $x=\frac{1+\sqrt{5}}{2}$(黄金比)では、$x^2=x+1$ を繰り返し使うと、どの $x^n$ も「整数 $\times x+$ 整数」の形になる(係数にはフィボナッチ数列が現れる)。だから $x^2-x$ のような組合せだけが、無理数部分が打ち消されて有理数になる。反例が偶然でなく、構造から来ていることが見えてくる。

別解

次数下げで機械的に進む(発見に頼らないルート)。 恒等式を「見つける」のが不安なら、$a=x^2-x$ を $x^2=x+a$ と読み替えて、次数を下げていけばよい。

$x^3$ を計算する。$x^2=x+a$ を繰り返し使うと

$$x^3=x\cdot x^2=x(x+a)=x^2+ax=(x+a)+ax=(1+a)x+a$$

よって

$$b=x^3-x=(1+a)x+a-x=ax+a$$

$x$ の1次方程式になった。$a\ne 0$ なら $x=\frac{b-a}{a}$ で、有理数の四則だから有理数。$a=0$ の場合は本解と同じく $x=0,1$。

「2次の関係式があれば、どんな高次式も1次まで下げられる」。この次数下げは、ひらめきではなく手順だ。恒等式の因数分解に気づかなくても、同じゴールに機械的にたどり着ける。