部分集合の判定と書き出し

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 「$B\subset A$($B$ は $A$ の部分集合)」とは、$B$ の要素が全部 $A$ にも入っていること。

判定は $1$ つずつ照合するだけ。$1$ つでも $A$ にない要素があれば、その瞬間に部分集合ではない — (2)は $8\in C$ だが $8\notin A$ なので不成立、と反例 $1$ つで決着する。

(3)の書き出しは、要素の個数順($0$ 個・$1$ 個・$2$ 個)に並べると、もれ・重複が防げる。

(1) $B=\{3,9\}$ の要素3と9は、どちらも $A=\{1,3,5,7,9\}$ に入っている。だから $B\subset A$ は成り立つ。

(2) $C=\{1,5,8\}$ を見ると、$8\in C$ だが $8\notin A$($A$ に8はない)。1つでも外れる要素があるので、$C\subset A$ は成り立たない。

(3) $\{2,4\}$ の部分集合を全部書く。要素0個から順に、もれなく。

$$\varnothing ,\{2\},\{4\},\{2,4\}$$

まとめ:空集合 $\varnothing$(要素0個)と、自分自身 $\{2,4\}$ も部分集合に入れるのを忘れずに。全部で4個ある。

発展 — 一歩先へ。 空集合 $\varnothing$ はどんな集合の部分集合でもある — 「$\varnothing$ の要素はすべて $A$ にも入っている」が、要素が $1$ つもないので自動的に成立するからだ(反例が作れない)。奇妙に見えるが、「$1$ つでも外れたら不成立」という定義を裏返すと必然だ。

部分集合の判定を「反例 $1$ つで決着」と捉える目は、この後の命題の真偽(反例 $1$ つで偽)と同じ構造。集合の包含と命題の真偽が対応している、というのがこの単元の中心テーマで、その予告がここにある。

別解

(3)の部分集合の個数には、「入れる・入れない」の $2$ 択という見方がある。

$D=\{2,4\}$ の部分集合を作るとき、要素ごとに独立に決められる。

• $2$ を入れる? → 入れる / 入れない($2$ 通り)
• $4$ を入れる? → 入れる / 入れない($2$ 通り)

だから部分集合は $2\times 2=4$ 個 — 数える前に個数が分かる。

$4$ 通りを表にすると、書き出しももれなく終わる。

$\varnothing$(空集合)は「全部入れない」という選択、$D$ 自身は「全部入れる」という選択 — 忘れがちな $2$ つが、表では自然に現れる。

一般に $n$ 個の要素をもつ集合の部分集合は $2^n$ 個($3$ 要素なら $8$ 個、$10$ 要素なら $1024$ 個)。これは場合の数(数A)の「積の法則」の最初の例で、$1$ つずつ独立に $2$ 択、という構造がそのまま指数の $2^n$ を生んでいる。