十分条件・必要条件となる定数の範囲

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 「十分・必要」を含み合いに翻訳する。$q$ が $p$ の十分条件とは $Q\subset P$、$r$ が $p$ の必要条件とは $P\subset R$ のことだ。

翻訳できれば、あとは文字 $a$ の入った範囲と固定範囲の位置関係の問題になる。

動く範囲の端がどこまで来てよいか。数直線の上で、端どうしの不等式に落とす。等号を含むかどうかは、境界の値で個別に確かめる。

$p,q,r$ を満たす集合を $P,Q,R$ とする。

$$P=\{x\mid 1\le x\le 4\},Q=\{x\mid a\le x\le a+1\},R=\{x\mid x\ge a\}$$

(1)

『$q$ が $p$ の十分条件』とは『$q\Rightarrow p$ が真』、つまり $Q$ が $P$ に入ること。

$$Q\subset P$$

$Q$($a$ から $a+1$)が $P$($1$ から $4$)にすっぽり入るには、左端 $a$ が1以上、右端 $a+1$ が4以下であればよい。

$$1\le aかつa+1\le 4$$

$a+1\le 4$ から $a\le 3$。合わせて

$$1\le a\le 3$$

(2)

『$r$ が $p$ の必要条件』とは『$p\Rightarrow r$ が真』、つまり $P$ が $R$ に入ること。

$$P\subset R$$

$P$($1$ から $4$)が $R$($a$ 以上)に入るには、$P$ の左端1が $a$ 以上であればよい($R$ は右にずっと続くので、右端は問題ない)。

$$a\le 1$$

まとめ:条件を集合に翻訳し、『十分 → $Q\subset P$』『必要 → $P\subset R$』と包含に直すのがカギ。あとは数直線で端の位置を調整する。

発展 — 一歩先へ。 「文字入りの区間が固定区間に含まれる条件」は、2次関数の解の配置(2次方程式の解が指定区間に入る条件)で本格的に再登場する。端の等号の検分は、そこでも毎回の作法だ。

「条件の判定を集合の位置関係に翻訳し、端の不等式に落とす」。この単元で学んだ翻訳の技術は、数学IIの領域の問題まで一直線につながっている。

別解

端の等号を含めてよいか迷ったら、「境界値テスト」で白黒をつけるのが確実だ。疑わしい値を実際に代入して実験する。

(1)の答えの境界は $a=1$ と $a=3$。

• $a=1$ のとき $Q$ は $1\le x\le 2$ の範囲。これは $P$($1\le x\le 4$)にすっぽり入る。含めてよい。
• $a=3$ のとき $Q$ は $3\le x\le 4$ の範囲。これも $P$ に入る。含めてよい。
• 少し外の $a=3.1$ だと $Q$ の右端が $4.1$ となり、$P$ からはみ出す。だめ。

よって両端とも等号込みで $1\le a\le 3$ と確定する。

(2)も同じで、境界 $a=1$ のとき $R$ は $x\ge 1$ となり、$P$ 全体を含む。含めてよいから $a\le 1$。

不等式の変形だけで押し切るより、境界での実験を1度はさむほうが、等号ミスは確実に減る。