命題の真偽と反例

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 「$p$ ならば $q$」の真偽は、反例が作れるかで決まる。

反例とは「$p$ は成り立つのに $q$ が成り立たない例」。$1$ つでも見つかれば偽、$1$ つも作れなければ真だ。

疑うポイントは決まっている — $2$ 乗や不等号が絡んだら、マイナスの数を試す。(2)は $x=-3$、(4)は $x=-5$ で崩れる。「正の数しか頭にない」思い込みが、この型の最大の落とし穴である。

『$p$ ならば $q$』は、反例(pなのにqでない例)が1つでもあれば偽。

(1) $x=3$ なら $x^2=9$。これは正しい。真。

(2) $x^2=9$ でも、$x=3$ とは限らない。$x=-3$ でも $x^2=9$ だ。反例 $x=-3$ があるので偽。

(3) $n$ が8の倍数なら、$n=8k$ と書ける。これは

$$n=8k=4\times 2k$$

となり4の倍数でもある。だから真。

(4) $x^2>4$ でも $x>2$ とは限らない。$x=-5$ なら $x^2=25>4$ だが、$x>2$ ではない(マイナス)。反例 $x=-5$ があるので偽。

まとめ:真偽を判定するコツは、まず偽を疑って反例を探すこと。特に2乗や不等式では、マイナスの数が反例になりやすい。反例が見つからなければ、なぜ必ず成り立つかを説明して真とする。

発展 — 一歩先へ。 真と偽で、必要な仕事の量がまったく違うことに注目したい。偽を示すには反例 $1$ つでいい(有限の仕事)。だが真を示すにはすべての場合で成り立つことを言わねばならない(無限の仕事)— だから文字を使った証明が必要になる。

この非対称は数学の根っこにある。「フェルマーの最終定理」は $350$ 年間、反例 $1$ つも見つからないのに証明できずにいた。反例探しは簡単、証明は難しい — その温度差を、$4$ つの小問で体験しておきたい。

別解

真偽の判定を、集合の包含として見ると、$1$ つの図で決着する。

条件 $p$ を満たす数の集合を $P$、$q$ を満たす集合を $Q$ とすると

「$p\Rightarrow q$」が真 ⟺ $P$ が $Q$ にすっぽり入る($P\subset Q$)

(2)で試そう。$p$: $x^2=9$ の集合は $P=\{3,-3\}$、$q$: $x=3$ の集合は $Q=\{3\}$。

$$P=\{3,-3\}\not\subset \{3\}=Q$$

$P$ には $Q$ からはみ出す要素 $-3$ がある — はみ出した要素が、そのまま反例だ。

(4)も同じ。$p$: $x^2>4$ は $P=\{x\mid x<-2$ または $x>2\}$(数直線の外側 $2$ つ)、$q$: $x>2$ は $Q$(右側だけ)。$P$ の左側の部分($x<-2$)が丸ごとはみ出す — だから偽で、そこから $x=-5$ でも $x=-3$ でも反例が選び放題だ。

反例を「探す」のではなく、はみ出す部分を「見る」 — 集合の絵を描けば、反例は探すまでもなく目に飛び込んでくる。この対応(命題 ⟺ 包含)が、次の問題の主題になる。