必要条件・十分条件の判定(範囲に直す)

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 必要・十分の判定は、条件を「$x$ の範囲(集合)」に翻訳して包含関係で見るのが確実だ。

$p$ の集合が $q$ の集合に含まれれば「$p\Rightarrow q$」で $p$ は十分条件。逆に $q$ が $p$ に含まれれば $p$ は必要条件。両方なら必要十分。

(1) $q:|x-1|<2$ は $-1<x<3$ で $p$ と同じ集合 → 必要十分。(2) $p:x^2=x$ は $\{0,1\}$、$q:x=1$ は $\{1\}\subset \{0,1\}$ → $p$ は必要(十分でない)。(3) $p:x>2$ は $q:x^2>4$($x<-2$ または $x>2$)に含まれる → $p$ は十分(必要でない)。

① (1) $q:|x-1|<2$ は $-1<x<3$ で、$p$ と完全に一致。よって $p\iff q$、$p$ は $q$ であるための必要十分条件。

② (2) $p:x^2=x$ は $x(x-1)=0$、すなわち $x=0$ または $x=1$。$q:x=1$。$q\Rightarrow p$ は真($x=1$ なら確かに $x^2=x$)、$p\Rightarrow q$ は偽($x=0$ が反例)。よって $p$ は $q$ であるための必要条件(十分でない)。

③ (3) $q:x^2>4$ は $x<-2$ または $x>2$。$p:x>2$ はこの一部。$p\Rightarrow q$ は真、$q\Rightarrow p$ は偽($x=-3$ が反例)。よって $p$ は $q$ であるための十分条件(必要でない)。

まとめ:必要・十分の判定は「範囲に直して包含を見る」。$p$ の範囲が $q$ に含まれる(=$p$ のほうが狭い)なら $p$ は十分条件。「狭いほうが十分・広いほうが必要」と覚えると速い。

発展 — 一歩先へ。 「$p$ は $q$ の十分条件」$⟺$「$p$ の表す集合 $\subset$ $q$ の表す集合」$⟺$「$p\Rightarrow q$」。この $3$ つは同じことの言い換え。必要・十分の判定は、命題の矢印・集合の包含・数直線の覆い方、どれで見ても一致する。数学の「同値な言い換え」を自在に行き来する練習になる。

別解

別解 — 数直線に $2$ つの範囲を描いて“はみ出し”を見る(視覚で納得するルート)。 $p,q$ の範囲を同じ数直線に描き、どちらがどちらを覆うかで判定する。

(1) $p:-1<x<3$ と $q:-1<x<3$(絶対値をほどくと同じ)。ぴったり重なる → お互いを導く → 必要十分。

(2) $p:x\in \{0,1\}$ と $q:x\in \{1\}$。$q$ の点 $1$ は $p$ に含まれるが、$p$ の点 $0$ は $q$ からはみ出す。「$q$ なら $p$」は言えるが逆は言えない → $p$ は $q$ であるための必要条件。

(3) $p:x>2$ と $q:x<-2$ または $x>2$。$p$ の範囲は $q$ にすっぽり収まるが、$q$ には $x<-2$ という $p$ にない部分がある → $p$ なら $q$(十分)だが逆は不成立。

「$p$ の範囲が $q$ に収まる=$p$ は十分」「$q$ が $p$ に収まる=$p$ は必要」と、はみ出しの向きで機械的に読める。集合の包含(本解)を、数直線の“覆い方”で見る道だ。