入れ子の量化命題の否定と真偽

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 量化命題($\forall ,\exists$)の否定は、「$\forall$ と $\exists$ を入れ替え、最後の等式を否定する」と機械的に作れる。

$P:\forall x\exists y(x+y=0)$ の否定は $\exists x\forall y(x+y\ne 0)$。$Q:\exists x\forall y(xy=y)$ の否定は $\forall x\exists y(xy\ne y)$。

真偽は具体例で。$P$ は各 $x$ に $y=-x$ をとれば $x+y=0$ で真。$Q$ は $x=1$ をとれば $\forall y(1\cdot y=y)$ で真。「$\forall \exists$ か $\exists \forall$ か」の順序で意味が変わることに注意する。

① $P$ の否定と真偽。 $P$ は $\forall x\exists y(x+y=0)$。否定は $\exists x\forall y(x+y\ne 0)$、すなわち「ある実数 $x$ が存在して、すべての実数 $y$ に対し $x+y\ne 0$」。真偽は $P$ が真:どんな $x$ に対しても $y=-x$ とすれば $x+y=0$。

② $Q$ の否定と真偽。 $Q$ は $\exists x\forall y(xy=y)$。否定は $\forall x\exists y(xy\ne y)$、すなわち「すべての実数 $x$ に対して、ある実数 $y$ が存在して $xy\ne y$」。真偽は $Q$ が真:$x=1$ とすれば、すべての $y$ で $1\cdot y=y$ が成り立つ。

まとめ:入れ子の量化命題は「否定=すべて/あるを入れかえて中身を否定」。真偽は $\exists$ なら具体例、$\forall$ なら「どんな…にも成り立つ理由」を述べる。$P,Q$ はともに真だが、その否定は(規則どおり)ともに偽になる。

発展 — 一歩先へ。 $\forall x\exists y$ と $\exists y\forall x$ の違いは、数学の厳密さの心臓部。関数の連続と一様連続の違い($\forall \epsilon \exists \delta$ の $\delta$ が $x$ に依存するか否か)も、まさにこの量化子の順序で決まる。$\epsilon$-$\delta$ 論法を学ぶとき、この順序の感覚が効いてくる。

別解

別解 — 「順序を入れ替えた命題」と比べて意味を掴む(得意な人向けの視点)。 $\forall x\exists y$ と $\exists y\forall x$ は別物。この違いを意識すると真偽が見える。

$P:\forall x\exists y(x+y=0)$ は「どの $x$ にも、それに応じた $y$ がある」。$y$ は $x$ ごとに選び直してよい($y=-x$)から真。

もし順序を入れ替えた $\exists y\forall x(x+y=0)$「ある $1$ つの $y$ が、すべての $x$ で $x+y=0$」なら、$1$ つの $y$ で全 $x$ をまかなうのは無理だから偽。$P$ が真なのは、$y$ を $x$ に依存して選べるおかげ。

$Q:\exists x\forall y(xy=y)$ は「ある $1$ つの $x$ が、すべての $y$ で $xy=y$」。$x=1$ が全 $y$ をまかなう($1\cdot y=y$)から真。

否定は「$\forall \leftrightarrow \exists$ を入れ替え、内側を否定」。$P$ の否定は $\exists x\forall y(x+y\ne 0)$、$Q$ の否定は $\forall x\exists y(xy\ne y)$。量化子の順序が意味を決める、という論理の核心が味わえる。