共通部分の条件から集合を決定する

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 $A\cap B=\{4\}$ という条件は、$2$ つの情報を同時に含んでいる。

$1$ つは「$4$ が両方に入る」。もう $1$ つは「$4$ 以外に共通の要素はない」。

この $2$ つを一度に扱おうとすると混乱する。そこで前半だけで $a$ の候補を出し、後半で候補をふるいにかける、という $2$ 段構えを最初に決める。

$A\cap B=\{4\}$ は『共通部分が4だけ』。$A$ には4がある。$B$ の要素のどれかが4になる $a$ を探す。

$a-1=4$ なら $a=5$。$a^2-6a+12=4$ なら $a^2-6a+8=0$、$(a-2)(a-4)=0$ で $a=2$ または $a=4$。候補は $a=2,4,5$。それぞれ $A,B$ を書いて検算する。

$a=2$ のとき:

$$A=\{1,4,-1\},B=\{2,1,4\}$$

共通部分は $\{1,4\}$。4だけではないので不適(1も共通)。

$a=4$ のとき:

$$A=\{1,4,5\},B=\{2,3,4\}$$

共通部分は $\{4\}$ だけ。OK。

$a=5$ のとき:

$$A=\{1,4,11\},B=\{2,4,7\}$$

共通部分は $\{4\}$ だけ。OK。

よって $a=4$ または $a=5$。それぞれの $A\cup B$ は

$$a=4\text{ のとき }A\cup B=\{1,2,3,4,5\},a=5\text{ のとき }A\cup B=\{1,2,4,7,11\}$$

まとめ:候補を出して終わりではなく、必ず『共通部分が4だけか』を検算する。$a=2$ のように、他の要素も一致してしまう場合を除くのが大事だ。

発展 — 一歩先へ。 この問題で $a=2$ が脱落したのは、$A$ の要素 $-1,1,4$ と $B$ の要素 $2,1,4$ の中で $1$ が両方に現れ、共通部分が $\{1,4\}$ になってしまうからだ。

パラメータ $a$ を含む集合では、候補が多めに出てくる。そこから「要素どうしがぶつかる($=$ 退化する)値」を除くひと手間が、いつも最後に効く。

この「候補を出したあとに退化を除く」流れは、方程式の重解を別あつかいする場面や、定義域から除外点を抜く場面など、後で何度も出会う。集合を $\{\}$ で書くと重複は自動で消えるので、個数を数えるときこそ要素が相異なるかに注意したい。

別解

別解 — 個数の関係で検算する(得意な人向けの視点)。 $A,B$ はどちらも $3$ 要素の集合だ。個数について、次の関係がいつでも成り立つ。

$$|A\cup B|=|A|+|B|-|A\cap B|.$$

いま $A\cap B=\{4\}$ なら $|A\cap B|=1$ だから、$|A\cup B|=3+3-1=5$ でなければならない。

そこで候補ごとに、$A,B$ に並ぶ $6$ 個の値がちょうど $5$ 種類の相異なる値になるか(重複は $4$ だけか)を数える。

$a=2$ のとき、$6$ 個の値は $1,4,-1,2,1,4$。相異なる値は $-1,1,2,4$ の $4$ 種類しかない。$|A\cup B|=4$ となり $5$ に足りない。つまり共通部分が $2$ 個あり、$A\cap B=\{4\}$ と両立しない。

$a=4$ では値が $1,4,5,2,3,4$ で相異なるのは $5$ 種類、重複は $4$ だけ。$a=5$ でも $1,4,11,2,4,7$ で同じく $5$ 種類、重複は $4$ だけ。どちらも条件を満たす。

共通部分を書き出すかわりに「相異なる値の個数」を数えても、$a=2$ をはじく理由がはっきり見える。本解と同じ $a=4,5$ にたどり着く。