集合の表し方(要素の列挙と条件)

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 集合の書き方は $2$ 通り — 要素を全部並べるか、条件で表すか。

(1)(2)は並べる方。条件に当てはまるものを $1$ つずつ拾い出し、もれなく書く。

(3)は逆向き — 並んだ要素から規則を読み取り、条件の形にまとめる。$3,6,9,12,15$ は「$3$ の倍数を $5$ 個」だから $\{3n\mid n=1,2,3,4,5\}$。$2$ つの書き方を行き来する練習である。

(1) 18の正の約数(18を割り切る数)を、小さい順に全部拾う。$1,2,3,6,9,18$。

$$A=\{1,2,3,6,9,18\}$$

(2) $-2\le x<3$ を満たす整数を並べる。$-2$ は含む(≦)、$3$ は含まない(<)ことに注意。

$$B=\{-2,-1,0,1,2\}$$

(3) 要素 $3,6,9,12,15$ は、どれも $3\times (\text{整数})$ の形。$3\times 1,3\times 2,\dots ,3\times 5$ なので、条件で表すと

$$C=\{3n\mid n=1,2,3,4,5\}$$

まとめ:$\{3n\mid \dots \}$ は『$3n$ という形の数を集めた集合』という意味。要素を並べる書き方と、条件で表す書き方、両方に慣れておこう。

発展 — 一歩先へ。 (2)の $-2\leqq x<3$ で、端の $\leqq$ と $<$ の違いが要素の有無を決める — $-2$ は入り、$3$ は入らない。不等号の $1$ 文字が集合を変える。数直線の白丸・黒丸を必ず確認する癖は、この先の範囲の集合(共通部分・補集合)でも命綱になる。

条件で表す書き方 $\{x\mid \cdots \}$ の強みは、無限集合も書けること。$\{3n\mid n\text{は自然数}\}$ なら $3$ の倍数全体(無限個)を有限の記号で表現できる — 並べる書き方では絶対に書けない集合が、条件なら $1$ 行で書ける。記号の発明が、扱える対象を広げている。

別解

(1)の約数をペアで拾うと、数え落としが構造的になくなる。

約数は必ず「かけて $18$ になる $2$ 数」のペアで現れる。小さい方から順に探す。

• $1\times 18$
• $2\times 9$
• $3\times 6$
• $4$?($18÷4$ が割り切れない — 却下)
• $5$? 却下
• 次は $\sqrt{18}\approx 4.24$ を超える — ここで打ち切り

なぜ打ち切れるか — $\sqrt{18}$ より大きい約数は、すでに相方として拾ったペアの中にいるからだ($6,9,18$ はすべて出てきた)。

$$A=\{1,2,3,6,9,18\}$$

$6$ 個。ペアで拾えば「$1$ と自分自身を忘れる」という最頻ミスも起きない($1\times 18$ が最初のペアだから)。

$\sqrt{n}$ までで打ち切る技は、約数の個数を数える問題(数A)やプログラミングでも同じ理屈で使われる。「ペアで現れる」という構造に気づくと、素朴な数え上げが確実な作業に変わる。