命題が恒真となる条件(区間の包含)

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 「$-1\le x\le 3$ ならば $|x-a|\le 2$」がすべての $x$ で成り立つ、を集合の包含に翻訳する。

$|x-a|\le 2$ は $a-2\le x\le a+2$。命題が恒真 $⟺$ 区間 $[-1,3]$ が区間 $[a-2,a+2]$ に含まれる。

ここで幅に注目。$[-1,3]$ の幅は $4$、$[a-2,a+2]$ の幅も $4$。同じ幅の区間が含むには一致するしかない。端をそろえて $a-2=-1$、$a+2=3$、どちらからも $a=1$。

① 範囲に直す。 仮定 $-1\le x\le 3$ は区間 $[-1,3]$。結論 $|x-a|\le 2$ は $a-2\le x\le a+2$、区間 $[a-2,a+2]$。命題が恒真 ⟺ $[-1,3]\subset [a-2,a+2]$。

② 幅を比べる。 $[a-2,a+2]$ の幅は $4$、$[-1,3]$ の幅も $4$。幅の等しい区間が一方を含むには、両端がそろって一致するしかない。よって

$$a-2=-1\text{かつ}a+2=3⟹a=1$$

③ 確認。 $a=1$ のとき結論の区間は $[-1,3]$ で、仮定の区間と一致。確かに恒真。

まとめ:「ならば」が恒真 ⟺ 範囲の包含。ここでは含む区間と含まれる区間の幅が同じという特殊状況で、$a$ がただ $1$ つに決まった。幅が違えば $a$ は範囲になる — 幅の比較が最初の着眼点。

発展 — 一歩先へ。 「区間 $I$ が区間 $J$ に含まれる」を $|x-a|\le r$ の形(中心 $a$・半径 $r$)で書くと、包含は「中心の距離 $\le$ 半径の差」で判定できる。この問題は $2$ 区間の幅(半径 $2$)が等しく余裕ゼロなので、中心が一致する $a=1$ しかない。半径に余裕があれば $a$ に範囲が出る、という一般化につながる。

別解

別解 — 恒真の否定(反例が存在しない条件)から攻める(得意な人向けの視点)。 命題が“偽”になるのは「$-1\le x\le 3$ なのに $|x-a|>2$」となる $x$ が存在するとき。恒真とは、この反例が $1$ つもないことだ。

区間 $[-1,3]$ で $|x-a|$ が最も大きくなるのは、$x$ が $a$ から最も遠い端。$a$ が区間の中にあるとき、遠い端までの距離は「$a$ から左端 $-1$」と「$a$ から右端 $3$」の大きい方。

反例が出ないためには、この最大距離が $2$ 以下でなければならない。

$$\max (|a-(-1)|,|a-3|)\le 2.$$

$|a+1|\le 2$ かつ $|a-3|\le 2$、すなわち $-3\le a\le 1$ かつ $1\le a\le 5$。共通部分は $a=1$ のみ。

区間の包含(本解)を「幅が同じだから一致」で解くのに対し、こちらは「一番遠い端までの距離 $\le 2$」で攻める。両端への距離が同時に $2$ 以下になるのは、区間の中心 $1$ に $a$ が来たときだけ、と読める。