三角不等式の等号条件

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 場合分け($a,b$ の符号4通り)でも示せる。だが、同値変形を1本道で通す方が鮮やかだ。

鍵は「両辺が0以上の等式は、2乗しても同値」ということ。$|a+b|$ も $|a|+|b|$ も0以上だから、安心して2乗できる。展開すると共通部分が消えて、残るのは

$$|ab|=ab$$

の1行。そしてこれは「$ab\ge 0$」の定義そのものだ。必要も十分も、この同値の鎖1本が同時に済ませてくれる。

① 2乗して同値変形する。 両辺とも0以上だから

$$|a+b|=|a|+|b|⟺(a+b{)}^2=(|a|+|b|{)}^2$$

② 展開して潰す。 左辺は $a^2+2ab+b^2$。右辺は $|a{|}^2+2|a||b|+|b{|}^2=a^2+2|ab|+b^2$。共通の $a^2+b^2$ を消して

$$⟺ab=|ab|$$

③ 定義に帰着する。 $|ab|=ab⟺ab\ge 0$(絶対値が自分自身に等しいのは0以上のときに限る)。①②③の同値の鎖により

$$|a+b|=|a|+|b|⟺ab\ge 0$$

が示された。

まとめ: 「0以上どうしなら2乗は同値」。この一言を明示することが、⟺ の証明の生命線だ。三角不等式 $|a+b|\le |a|+|b|$ の等号条件を切り出した問題で、ベクトルや複素数の三角不等式でも同じ条件(同じ向き)が顔を出す。

発展 — 一歩先へ。 $n$ 個版も同じ形になる。$|a_1+\cdots +a_n|=|a_1|+\cdots +|a_n|$ ⟺ すべて同符号(0は どちらにも数えてよい)。ベクトルでは $|\vec{a}+\vec{b}|=|\vec{a}|+|\vec{b}|$ ⟺ 同じ向き。次元が上がっても、等号の意味は「打ち消し合いが起きない」で一貫している。

別解

数直線の歩みで見る(直感ルート+場合分けの証明)。 $|a|$ は「原点からの道のり」、$a+b$ は「$a$ 歩いてから $b$ 歩く」こと。すると等式の意味はこうなる。

道のりの合計( $|a|+|b|$ )が、到達距離( $|a+b|$ )に等しい。 寄り道せず、2歩が同じ向きのときだけ起こることだ。逆向きに歩くと、打ち消した分だけ到達距離は縮む。

この直感を、符号の場合分けでそのまま証明にできる:

• $a\ge 0,b\ge 0$ のとき: $|a+b|=a+b=|a|+|b|$ ✓(等号成立。このとき $ab\ge 0$)
• $a\le 0,b\le 0$ のとき: $|a+b|=-(a+b)=(-a)+(-b)=|a|+|b|$ ✓(等号成立。$ab\ge 0$)
• 異符号(たとえば $a>0>b$)のとき: $|a+b|$ は $|a|,|b|$ の差の絶対値で、$|a|+|b|$ より真に小さい($b\ne 0$ の打ち消しが起こる)。等号不成立。このとき $ab<0$

等号が成り立つ場合とそうでない場合が、$ab\ge 0$ と $ab<0$ にぴったり対応する。2乗の同値変形(本解)は、この場合分けを1本の式に圧縮したものだ。