√p が無理数であること(背理法)

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 これも背理法。$\sqrt{p}=\frac{m}{n}$(既約分数)と仮定して、両辺を2乗すると $m^2=p{n}^2$。

右辺は $p$ の倍数だから $p\mid m^2$。ここで $p$ が素数であることが効く: 素数が積を割るなら、因数のどれかを割る — $p\mid m$。

$m=pk$ と書いて戻すと、今度は $p\mid n$ も出てしまう。$m$ と $n$ が共通因数 $p$ をもち、「既約」に矛盾する。

① 既約と仮定。 $\sqrt{p}$ が有理数なら、互いに素な正の整数 $m,n$ で $\sqrt{p}=\frac{m}{n}$ と書ける。$2$ 乗して $$m^2=p{n}^2.$$ ② $p\mid m$。 右辺は $p$ の倍数だから $p\mid m^2$。$p$ は素数なので $p\mid m$。$m=pk$ とおく。

③ 矛盾。 $m=pk$ を代入すると $p^2{k}^2=p{n}^2$、両辺 $p$ で割って $p{k}^2=n^2$。よって $p\mid n^2$、再び素数性で $p\mid n$。$m,n$ がともに $p$ で割れるのは「互いに素」に反する。よって仮定が誤りで、$\sqrt{p}$ は無理数。

まとめ $\sqrt{p}=\frac{m}{n}$(既約)から $m^2=p{n}^2$、$p$ が素数だから $p\mid m,p\mid n$ となり既約に矛盾。$\sqrt{p}$ は無理数。命題(背理法)と素数の融合。

発展 — 一歩先へ。 補題「モニック整数係数方程式の有理数解は整数」を持っておくと、$\sqrt{n}$ が有理数 ⟺ $n$ が平方数($x^2-n=0$)、$\sqrt[3]{2}$ は無理数($x^3-2=0$ の整数解なし)、さらに $\sqrt{2}+\sqrt{3}$ の無理性($x^4-10x^2+1=0$ の整数解なし)まで、同じ3行で量産できる。1つの証明を「定理の形」に磨いておく価値の見本だ。

別解

「整数係数方程式の有理数解は整数」で撃つ(整数根定理)。 $\sqrt{p}$ は方程式 $x^2-p=0$ の解だ。次の小定理を使う。

補題: 最高次の係数が1の整数係数方程式 $x^2+bx+c=0$ の有理数解は、必ず整数である。(証明: $x=\frac{m}{n}$(既約)を代入して分母を払うと $m^2=-n(bm+cn)$。$n$ の素因数は $m^2$ を割るが、既約だから $n=1$。)

すると $\sqrt{p}$ が有理数なら整数のはず。だが $1^2=1<p<4\le k^2$($k\ge 2$ では $k^2\ge 4>p$ とは限らないので正しくは)… $p$ は素数だから平方数ではなく、$m^2=p$ を満たす整数 $m$ は存在しない。よって $\sqrt{p}$ は無理数。

既約分数の直接計算(本解)はこの補題の中身を1回展開したもの。補題として切り出しておくと、$\sqrt[3]{2}$ や $\sqrt{2}+\sqrt{3}$(整数係数の4次方程式の解)の無理性にも同じ一撃が使え、再利用性が段違いになる。