対偶を利用する証明

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 「$3n+2$ が奇数ならば $n$ は奇数」を直接示すのは難しい — 「$3n+2$ が奇数」という条件から $n$ の姿を取り出す手立てがないからだ。

そこで対偶に乗り換える。対偶は「$n$ が偶数ならば $3n+2$ は偶数」。

こちらは易しい — $n$ が偶数なら $n=2k$ と具体的に書ける。書けたら計算できる。もとの命題と対偶は真偽が一致するので、対偶を証明すれば仕事は完了だ。

「仮定が扱いにくいときは対偶」 — 証明の方針転換の定跡である。

直接ではなく、対偶を証明する。もとの命題『$3n+2$ が奇数ならば $n$ は奇数』の対偶は

『$n$ が偶数ならば $3n+2$ は偶数』

である。もとの命題と対偶は真偽が一致するので、この対偶を示せばよい。

$n$ が偶数なら、$n=2k$($k$ は整数)とおける。このとき

$$3n+2=3\cdot 2k+2=6k+2=2(3k+1)$$

$2\times (\text{整数})$ の形なので、$3n+2$ は偶数。これで対偶が示せた。

よって、もとの命題『$3n+2$ が奇数ならば $n$ は奇数』も真である。(証明終わり)

まとめ:直接示しにくい命題は、対偶に言いかえると『$n=2k$ とおいて計算』の形になり、ぐっと示しやすくなる。これが対偶を使う証明のうまみだ。

発展 — 一歩先へ。 「$k$ は整数」と明記することが、この証明の生命線だ。$2(3k+1)$ が偶数と言えるのは、$3k+1$ が整数だから — もし $k$ が分数なら $2\times$(分数)は偶数とは限らない。整数であることの明示が、整数の証明の作法である。

対偶を使う証明は、この後もずっと登場する。「$n^2$ が偶数ならば $n$ は偶数」(背理法で $\sqrt{2}$ の無理性を示す鍵)も、直接は難しいが対偶「$n$ が奇数ならば $n^2$ は奇数」なら $n=2k+1$ の代入で $1$ 行だ。対偶は、証明のための最も安価な方針転換である。

別解

なぜ対偶に乗り換えると易しくなるのか — 仮定の使いやすさが逆転するからだ。

もとの命題の仮定「$3n+2$ が奇数」: ここから $n$ について何が言える?$3n+2=2m+1$ とおいても、$n=\frac{2m-1}{3}$ となって整数かどうかも怪しい式が出るだけ — 手詰まりだ。

対偶の仮定「$n$ が偶数」: $n=2k$($k$ は整数)と、$n$ そのものを具体的な形で書ける。あとは代入して計算するだけ。

$$3n+2=3(2k)+2=6k+2=2(3k+1)$$

$3k+1$ は整数だから、$3n+2$ は $2\times$(整数)— 偶数だ。対偶が証明できた。

扱いやすい仮定とは「$n=2k$ のように具体形に書ける」もの。偶数・奇数・倍数の条件は書けるが、「〜が奇数でない」のような否定形や、複雑な式の性質は書きにくい。

命題を見たら、もとと対偶で「仮定が具体形に書ける方」を選ぶ — この一手の選択が、整数の証明問題の成否を分ける。

数値実験でも確かめられる。$n=1$(奇数)なら $3n+2=5$(奇数)✓、$n=2$(偶数)なら $8$(偶数)✓、$n=3$ なら $11$(奇数)✓ — 対偶が主張するとおり、偶数の $n$ からは必ず偶数が出る。