対偶を利用する証明

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 「$n^2-2n+3$ が偶数ならば」という仮定は、そのままでは使いにくい。式の偶奇から $n$ を割り出すのは骨が折れる。

対偶を作ると、仮定が「$n$ が偶数」に変わる。これなら $n=2k$ と置くだけで計算が走り出す。

「仮定に計算しやすい形が来るように乗り換える」。対偶を選ぶ理由は、いつもこれだ。

対偶を証明する。もとの命題の対偶は

『$n$ が偶数ならば $n^2-2n+3$ は奇数である』

$n$ が偶数なら $n=2k$($k$ は整数)とおける。代入して整理する。

$$\begin{array}{rl}{n}^2-2n+3& =(2k{)}^2-2\cdot 2k+3\\ & =4k^2-4k+3\\ & =2(2k^2-2k+1)+1\end{array}$$

$2\times (\text{整数})+1$ の形なので、$n^2-2n+3$ は奇数。これで対偶が示せた。

よって、もとの命題も真である。(証明終わり)

$3=2+1$ と分けて $2(\dots )+1$ の形を作るのがコツ。$2\times (\text{整数})+1$ なら奇数、$2\times (\text{整数})$ なら偶数、と示す。

発展 — 一歩先へ。 対偶と背理法は、直接示しにくい命題への二大迂回路だ。選ぶ基準はどちらも同じで、「仮定が計算しやすい形になるか」である。

別解の「偶数・奇数の2択を両方調べる」分類は、数学Aの整数の性質で「余りによる分類」として本格化する。$2$ で割った余りの次は、$3$ で割った余りで分類する世界が待っている。

別解

対偶を経由せず、偶奇を直接分析するルートもある。

式を $n^2-2n+3=n(n-2)+3$ と見る。$n$ と $n-2$ は差が $2$ だから、偶奇が必ず一致する。

• $n$ が偶数なら、$n(n-2)$ は偶数 × 偶数で偶数。$3$ を足して奇数。
• $n$ が奇数なら、$n(n-2)$ は奇数 × 奇数で奇数。$3$ を足して偶数。

つまり $n^2-2n+3$ が偶数になるのは、$n$ が奇数のときだけ。これで命題がそのまま示せた。

2択(偶数か奇数か)を両方調べ尽くす、という力ずくの分類も、れっきとした証明法だ。対偶がピンとこないときの避難路になる。