背理法による無理数の証明(和の無理数)

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 「無理数である」を直接示すのは難しいので、背理法をとる。$\sqrt{2}+\sqrt{3}$ が有理数 $r$ だと仮定して、矛盾を導く。

仮定から $\sqrt{3}=r-\sqrt{2}$。両辺を $2$ 乗すると $3=r^2-2r\sqrt{2}+2$。

$\sqrt{2}$ について解くと $\sqrt{2}=\frac{r^2-1}{2r}$。右辺は有理数どうしの計算だから有理数。だが $\sqrt{2}$ は無理数(既知)。矛盾が出たので、仮定が誤り。

① 仮定する。 $\sqrt{2}+\sqrt{3}$ が有理数だと仮定し、その値を $r$ とおく:$\sqrt{2}+\sqrt{3}=r$。$r$ は有理数で $r>0$。

② $\sqrt{3}$ を消す。 $\sqrt{3}=r-\sqrt{2}$ の両辺を $2$ 乗すると

$$3=r^2-2\sqrt{2}r+2$$

$\sqrt{2}$ について解くと

$$\sqrt{2}=\frac{r^2-1}{2r}$$

③ 矛盾を導く。 右辺は有理数どうしの四則で作られるから有理数($r\ne 0$ に注意)。すると $\sqrt{2}$ が有理数になり、$\sqrt{2}$ が無理数であることに矛盾する。よって仮定は誤りで、$\sqrt{2}+\sqrt{3}$ は無理数である。(証明終)

まとめ:「和が無理数」は背理法で、$2$ 乗して片方の根号を消し、残った無理数を有理数で表してしまう矛盾に持ち込む。$\sqrt{2}$ が無理数、という既知の事実に矛盾を落とすのがゴール。

発展 — 一歩先へ。 $\sqrt{2}+\sqrt{3}$ は $x^4-10x^2+1=0$ の解(代数的数)。有理数体に $\sqrt{2},\sqrt{3}$ を添加した体では、$\sqrt{2}+\sqrt{3}$ が「生成元」になり、$\sqrt{2},\sqrt{3},\sqrt{6}$ がすべてその多項式で書ける。$\sqrt{2}$ か $\sqrt{6}$ か、どの無理数に矛盾を帰着させてもよいのは、これらが同じ体に住むからだ。

別解

別解 — $\sqrt{6}$ が無理数であることに帰着させる(得意な人向けの視点)。 $\sqrt{2}+\sqrt{3}=r$(有理数)と仮定し、両辺を $2$ 乗する。

$$(\sqrt{2}+\sqrt{3}{)}^2=2+2\sqrt{6}+3=5+2\sqrt{6}=r^2.$$

$\sqrt{6}$ について解くと $\sqrt{6}=\frac{r^2-5}{2}$。右辺は有理数だから $\sqrt{6}$ が有理数になる。

だが $\sqrt{6}$ は無理数($6$ は平方数でないので $\sqrt{6}$ は無理数、これは $\sqrt{2}$ の無理性と同様に示せる)。矛盾。よって $\sqrt{2}+\sqrt{3}$ は無理数。

$\sqrt{2}$ を取り出す(本解)代わりに、$2$ 乗して現れる $\sqrt{6}$ の無理性に持ち込む。$\sqrt{2}+\sqrt{3}$ を $2$ 乗すると交差項 $2\sqrt{6}$ が出るので、$\sqrt{6}$ の無理性がそのまま使える。どの無理数の無理性に帰着させるか、選択肢がある。