つねに正となる条件(全称命題と判別式)

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 「すべての $x$ で $>0$」という全称の条件は、グラフの言葉に翻訳すると扱える: 放物線 $y=x^2+ax+1$ が $x$ 軸より完全に上にあること。

$x^2$ の係数は正(下に凸)だから、軸より上 ⟺ $x$ 軸と交わらない ⟺ 判別式 $<0$。

$a^2-4<0$ を解いて $-2<a<2$。全称命題が、判別式の1本の不等式に化けた。

① グラフに翻訳。 $y=x^2+ax+1$ は下に凸。「すべての $x$ で $>0$」は、グラフが $x$ 軸より上、すなわち $x$ 軸と共有点をもたないこと。

② 判別式 $<0$。 $$D=a^2-4\cdot 1\cdot 1=a^2-4<0.$$ ③ 解く。 $a^2<4$、すなわち $$-2<a<2.$$

まとめ 全称命題「すべての $x$ で正」は、下に凸の放物線が $x$ 軸と交わらない($D<0$)条件。$-2<a<2$。命題(全称)と $2$ 次関数(判別式)の融合。$a=\pm 2$ は $x$ 軸に接し「$>0$」が崩れる($=0$ になる)ので含めない。

発展 — 一歩先へ。 全称「すべての $x$ で $f(x)>0$」の否定は存在「ある $x$ で $f(x)\le 0$」— 答えの範囲 $-2<a<2$ の補集合 $|a|\ge 2$ が、ちょうど否定命題の成立範囲になっている。「全称 ⟺ 最小値」「存在 ⟺ 最大値(または1点)」という翻訳は、パラメータつき不等式の全問題を貫く背骨で、2次関数の章で「定義域つき」に進化して再登場する。

別解

平方完成で最小値を直接見る(判別式を経由しない)。 全称命題は「最小値が正」と同じことだ。平方完成すると

$$x^2+ax+1={\left(x+\frac{a}{2}\right)}^2+1-\frac{a^2}{4}$$

第1項は $0$ 以上(最小は $x=-\frac{a}{2}$ のとき $0$)だから、全体の最小値は $1-\frac{a^2}{4}$。

「すべての $x$ で正」⟺「最小値 $>0$」⟺ $1-\frac{a^2}{4}>0$ ⟺ $-2<a<2$。

判別式(本解)は「グラフが軸と交わらない」の翻訳、平方完成は「一番低い所でも正」の翻訳 — 同じ内容だが、平方完成はなぜその範囲か(最小値の式)まで手元に残る。境界 $a=\pm 2$ では最小値がちょうど $0$(グラフが軸に接する)ことも即座に読める。