逆・裏・対偶とその真偽(整数の偶奇)

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 まず元の命題の真偽を確かめる。「$x+y$ が奇数 $\Rightarrow$ $xy$ は偶数」。$x+y$ が奇数なら一方が偶・他方が奇、だから積 $xy$ は偶数。元命題は真だ。

逆・裏・対偶の関係を整理する。対偶は元と真偽が一致するから、対偶も真。

逆と裏は互いに対偶の関係にあるので、真偽が一致する。片方の反例を $1$ つ見つければ、両方とも偽と分かる。逆「$xy$ 偶 $\Rightarrow$ $x+y$ 奇」の反例は $x=2,y=4$($xy=8$ 偶だが $x+y=6$ 偶)。

① 元命題と対偶。 $x+y$ が奇数 ⟺ $x,y$ の一方が偶数・他方が奇数。このとき積 $xy$ は偶数(偶数を因数に含む)。よって元命題は真。ゆえに対偶「$xy$ が奇数ならば $x+y$ は偶数」も真。

② 逆。 「$xy$ が偶数ならば $x+y$ は奇数」。反例 $x=2,y=4$:$xy=8$(偶)だが $x+y=6$(偶)。よって偽。

③ 裏。 「$x+y$ が偶数ならば $xy$ は奇数」。反例 $x=2,y=2$:$x+y=4$(偶)だが $xy=4$(偶)。よって偽。(逆と裏は互いに対偶なので、ともに偽で整合。)

まとめ:逆・裏・対偶は「対偶は元と同じ真偽」「逆と裏は互いに同じ真偽」を使うと、$4$ つ全部を個別に調べずに済む。偶奇の問題は $x,y$ の偶奇 $4$ 通りを尽くせば必ず決着する。

発展 — 一歩先へ。 「元命題 $\equiv$ 対偶」「逆 $\equiv$ 裏」という同値関係は、$4$ つの命題が $2$ 組のペアに分かれることを意味する。だから真偽は $2$ 通りだけ調べればよい。対偶をとって証明する(対偶法)のは、この「元 $\equiv$ 対偶」を利用した証明法。背理法とならぶ、間接証明の基本だ。

別解

別解 — $x,y$ の偶奇の表($4$ 通り)で一望する(苦手な人にも確実なルート)。 $x,y$ の偶奇の組合せ $4$ 通りで、$x+y$ と $xy$ の偶奇を表にする。

この表からすべて読める。

• 元命題「$x+y$ 奇 $\Rightarrow$ $xy$ 偶」: $x+y$ 奇の行(偶奇・奇偶)はどちらも $xy$ 偶 → 真。
• 逆「$xy$ 偶 $\Rightarrow$ $x+y$ 奇」: $xy$ 偶の行に「偶偶」があり、そこは $x+y$ 偶 → 偽(反例 $x=2,y=4$)。
• 裏「$x+y$ 偶 $\Rightarrow$ $xy$ 奇」: $x+y$ 偶の行に「偶偶」があり $xy$ 偶 → 偽(反例 $x=2,y=2$)。
• 対偶「$xy$ 奇 $\Rightarrow$ $x+y$ 偶」: $xy$ 奇の行(奇奇)は $x+y$ 偶 → 真。

$4$ 行の表$1$枚で、元・逆・裏・対偶の真偽と反例がすべて確定する。「対偶は元と一致・逆と裏は一致」という関係も、表の上で確かめられる。