集合の等式の証明(分配法則)

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 集合の等式は、分配法則を“逆向き”に使って共通因子をくくり出すのが速い。

$(A\cup B)\cap (A\cup \overline{B})$ は「$A\cup ()$」の形が $2$ つ。分配法則 $A\cup (B\cap C)=(A\cup B)\cap (A\cup C)$ を右から左に使うと、$A\cup (B\cap \overline{B})$ とまとまる。

$B\cap \overline{B}=\varnothing$(ある要素が $B$ に入りかつ入らない、はあり得ない)。よって $A\cup \varnothing =A$。

① 分配法則で $A$ をくくり出す。 分配法則を右辺から左辺へ($C=\overline{B}$ とみて)使うと

$$(A\cup B)\cap (A\cup \overline{B})=A\cup (B\cap \overline{B})$$

② 空集合に気づく。 $B\cap \overline{B}$ は「$B$ に属し、かつ $B$ に属さない」要素の集合だから、そんな要素はなく $B\cap \overline{B}=\varnothing$。

③ 仕上げる。 $A\cup \varnothing =A$。よって

$$(A\cup B)\cap (A\cup \overline{B})=A$$

(証明終)

まとめ:集合の等式は「数の計算に似た法則(分配・ド・モルガン)+ $B\cap \overline{B}=\varnothing$、$B\cup \overline{B}=U$」を道具に、式変形で示せる。要素を追って確かめてもよいが、法則を使うほうが $3$ 集合以上でも通用する。

発展 — 一歩先へ。 集合の $\cup ,\cap ,\overline{}$ は、論理の $\vee ,\wedge ,\neg$ と完全に対応する(ブール代数)。$(A\cup B)\cap (A\cup \overline{B})=A$ は、論理式 $(p\vee q)\wedge (p\vee \neg q)=p$ と同じ。集合の等式と論理の恒真式は、同じ代数の $2$ つの顔である。

別解

別解 — 要素の所属を $4$ 通りで総当たりする(苦手な人にも確実なルート)。 任意の要素 $x$ について、$x$ が $A,B$ に属するかしないかで $4$ 通り。各場合で左辺 $(A\cup B)\cap (A\cup \overline{B})$ に $x$ が入るかを調べ、右辺 $A$ と一致するか確かめる。

• $x\in A$($B$ は問わない): $x\in A\cup B$ かつ $x\in A\cup \overline{B}$(どちらも $A$ を含む)→ 左辺に入る。右辺 $A$ にも入る。○
• $x\notin A,x\in B$: $x\in A\cup B$(○)だが $x\notin A\cup \overline{B}$($A$ にも $\overline{B}$ にも入らない)→ 左辺に入らない。右辺 $A$ にも入らない。○
• $x\notin A,x\notin B$: $x\notin A\cup B$ → 左辺に入らない。右辺にも入らない。○

すべての場合で「左辺に入る $⟺$ 右辺 $A$ に入る」。だから $2$ 集合は等しい。

分配法則(本解)は鮮やかだが、法則をうろ覚えなら「要素の所属を全パターン調べる」のが確実。集合の等式は、結局「どの要素についても所属が一致する」ことに尽きる。