数学I / 集合と命題

log₂3 が無理数であること(背理法)

実戦編集合と命題背理法無理数整数の性質単元横断

問題

$lo g_{2} 3$ が無理数であることを示せ。

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$lo g_{2} 3 = \frac{p}{q}$ と仮定すると $2^{p / q} = 3$ 、両辺を $q$ 乗して $2^{p} = 3^{q}$ 。左辺と右辺の素因数は?

解答・解説

方針

背理法。 $lo g_{2} 3 = \frac{p}{q}$ (既約、 $q > 0$ )と仮定して $2^{p} = 3^{q}$ を導き、 $2$ と $3$ の素因数が食い違うこと(素因数分解の一意性)で矛盾を出す。

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 無理数であることの証明は、背理法が定石だ。「有理数 $\frac{p}{q}$ だ」と仮定して、矛盾を探す。

$lo g_{2} 3 = \frac{p}{q}$ は、対数の定義から $2^{p / q} = 3$ 、両辺を $q$ 乗して $2^{p} = 3^{q}$ ( $lo g_{2} 3 > 0$ より $p, q$ は正の整数にとれる)。

ここで左辺は偶数、右辺は奇数 — 等しくなれるはずがない。素因数 $2$ と $3$ の世界が交わらないことが、矛盾の源になる。

重要素因数分解の一意性:

1

より大きい整数の素因数分解はただ

1

通り

① 有理数と仮定。 $lo g_{2} 3$ が有理数なら、正の整数 $p, q$ を用いて $lo g_{2} 3 = \frac{p}{q}$ と書ける( $lo g_{2} 3 > 0$ より $p, q > 0$ )。

② 整数の等式に。 定義より $2^{p / q} = 3$ 、両辺を $q$ 乗して $2^{p} = 3^{q} .$ ③ 矛盾。 左辺 $2^{p}$ ( $p \geq 1$ )は素因数として $2$ のみをもち、右辺 $3^{q}$ ( $q \geq 1$ )は素因数として $3$ のみをもつ。同じ整数が異なる素因数分解をもつことになり、素因数分解の一意性に反する。よって仮定が誤りで、 $lo g_{2} 3$ は無理数。

まとめ 有理数と仮定すると $2^{p} = 3^{q}$ 、左辺は $2$ の累乗・右辺は $3$ の累乗で素因数が食い違い矛盾。 $lo g_{2} 3$ は無理数。命題(背理法)と整数の融合。

発展 — 一歩先へ。 同じ偶奇(素因数)の議論で、 $lo g_{10} 2, lo g_{3} 5, lo g_{2} 6$ などの無理性も一撃で示せる( $1 0^{q} = 2^{p}$ は $5$ の素因数で破綻、など)。逆に $lo g_{4} 9 = lo g_{2} 3$ や $lo g_{8} 4 = \frac{2}{3}$ のように有理数になる対数は「両辺が同じ素因数の組でできている」場合に限る — 素因数の指数を比べる、という1つの目で対数の有理・無理が仕分けできる。

答

有理数 $\frac{p}{q}$ と仮定すると $2^{p / q} = 3$ 、すなわち $2^{p} = 3^{q}$ 。左辺は偶数(または $2$ の累乗)、右辺は奇数( $3$ の累乗)で、素因数分解の一意性に反する。矛盾。

別解

割った余りの1行で(素因数分解の大定理を使わない)。 $2^{p} = 3^{q}$ ( $p, q$ は正の整数)が成り立たないことは、2で割った余りだけで言い切れる。

左辺 $2^{p}$ は( $p \geq 1$ だから)2で割り切れる: 余り $0$ 。

右辺 $3^{q}$ は奇数×奇数×…×奇数で奇数: 余り $1$ 。

余り $0 =$ 余り $1$ はあり得ない — 矛盾。素因数分解の一意性という大定理を引かずに、偶奇の一撃で落ちる。

なお $p, q > 0$ にとれる理由( $lo g_{2} 3 > 0$ 、実際 $1 < lo g_{2} 3 < 2$ )を先に押さえるのが作法。この「両辺を素数で割った余りで見る」手筋は、 $lo g_{10} 2$ (右辺 $1 0^{q}$ を $5$ で見る)など、対数の無理性証明の全部に通用する。

ポイント

背理法で $lo g_{2} 3 = \frac{p}{q}$ と仮定。
$2^{p} = 3^{q}$ を導く。
素因数( $2$ と $3$ )が食い違い矛盾。

よくある間違い

$lo g_{2} 3 = \frac{p}{q}$ の $p, q$ の符号・零の検分を飛ばす( $lo g_{2} 3 > 0$ から正の整数にとれる、の一言)。
$2^{p / q} = 3$ から $q$ 乗する変形を「両辺を $q$ 倍」と混同する。
「偶数=奇数で矛盾」の根拠( $2^{p}$ は $p \geq 1$ で偶数、 $3^{q}$ は奇数の積で奇数)を書かずに流す。