十分条件・必要条件となる定数の範囲

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 $p:|x-2|\le k$ の表す範囲は、中心 $2$ の対称な区間だ。$k$ が大きくなるほど左右に伸びる。

十分条件は「$P$ が $Q$ に収まる」、必要条件は「$Q$ が $P$ に収まる」。どちらがどちらに入るのかを取り違えやすい。

そこで先に $P\Rightarrow Q$ か $Q\Rightarrow P$ かの矢印を書き、それを包含に直してから端の不等式に落とす。この順番を守れば向きを間違えない。

条件を範囲に直す。

$$P=\{x\mid 2-k\leqq x\leqq 2+k\},Q=\{x\mid -1\leqq x\leqq 4\}$$

(1)

『$p$ が $q$ の十分条件』は『$p\Rightarrow q$ が真』、つまり $P\subset Q$。$P$($2-k$ から $2+k$)が $Q$($-1$ から $4$)に入るには、$P$ の左端が $-1$ 以上、右端が4以下。

$$-1\leqq 2-k\text{かつ}2+k\leqq 4$$

左から $k\le 3$、右から $k\le 2$。$k>0$ もあわせて、きつい方の $k\le 2$ をとり

$$0<k\leqq 2$$

(2)

『$p$ が $q$ の必要条件』は『$q\Rightarrow p$ が真』、つまり $Q\subset P$。$Q$($-1$ から $4$)が $P$($2-k$ から $2+k$)に入るには、$P$ のほうが広く、$P$ の左端が $-1$ 以下、右端が4以上。

$$2-k\leqq -1\text{かつ}4\leqq 2+k$$

左から $k\ge 3$、右から $k\ge 2$。両方を満たすには

$$k\geqq 3$$

まとめ:『十分 → $P\subset Q$($P$ が小さい)』『必要 → $Q\subset P$($P$ が大きい)』。包含の向きを間違えないのがカギだ。

発展 — 一歩先へ。 十分条件の範囲 $0<k\le 2$ と必要条件の範囲 $k\ge 3$ は、重なっていない。

間の $2<k<3$ では、$P$ は $Q$ をはみ出し($2+k>4$)、しかも $Q$ の左端 $-1$ を覆えない($2-k>-1$)。だから $p$ は $q$ の必要条件でも十分条件でもない。

では必要十分($P=Q$)になる $k$ はあるか。$P$ は中心 $2$ の対称区間、$Q=[-1,4]$ は中心 $1.5$。中心がずれているので、幅をどう選んでも一致しない。$p$ と $q$ が同値になる $k$ は存在しないのだ。$p,q$ がずれた条件のとき、必要の境目と十分の境目が別の場所に来ることが見てとれる。

別解

別解 — 中心 $2$ から見た「左右の届き」で比べる(得意な人向けの視点)。 $P=[2-k,2+k]$ は中心 $2$ から左右に同じ $k$ だけ伸びる。$Q=[-1,4]$ を、同じ中心 $2$ から測り直す。

$Q$ の左端 $-1$ は $2$ から左へ $3$、右端 $4$ は $2$ から右へ $2$。つまり $Q$ は中心 $2$ から見て「左に $3$、右に $2$」届いている(左右で非対称)。

(1) 十分条件 $P\subset Q$ は、$P$ が $Q$ の内側に収まること。$P$ の左右の伸び $k$ が、$Q$ の届き(左 $3$・右 $2$)を超えなければよい。$k\le 3$ かつ $k\le 2$、きつい方をとって $0<k\le 2$。

(2) 必要条件 $Q\subset P$ は、$P$ が $Q$ を覆うこと。$P$ の伸び $k$ が、$Q$ の届きを両側とも上回ればよい。$k\ge 3$ かつ $k\ge 2$。両方を満たすには厳しい方の $k\ge 3$。

端点そのものを比べる本解に対し、こちらは「中心 $2$ からの左右の届き」に注目する。$Q$ が中心 $2$ に対して非対称(左 $3$・右 $2$)であることが、十分では右 $2$ が、必要では左 $3$ が効く理由をはっきりさせる。本解と同じ $0<k\le 2$、$k\ge 3$ を得る。