絶対値で定められた集合の包含関係

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 絶対値で書かれた集合は、まず区間に翻訳して「中心と幅」で捉える。

$B$ は中心 $a$、幅 $6$ の窓だ。$a$ が動くと、この窓が数直線上を左右にずれる。

包含 $A\subset B$ は「窓が相手をすっぽり覆う」条件、交わりなし $A\cap B=\varnothing$ は「窓が相手に届かない」条件。どちらも端の位置をくらべる不等式に言いかえられる。

絶対値を範囲に直す。

$$A=\{x\mid -1<x<3\},B=\{x\mid a-3<x<a+3\}$$

(1)

$A\subset B$($A$ が $B$ にすっぽり入る)条件を考える。$B$ の左端 $a-3$ が $A$ の左端 $-1$ 以下(=$B$ が $A$ より左まである)、$A$ の右端3が $B$ の右端 $a+3$ 以下、であればよい。

$$a-3\leqq -1\text{かつ}3\leqq a+3$$

左から $a\le 2$、右から $a\ge 0$。合わせて

$$0\leqq a\leqq 2$$

(2)

$A\cap B=\varnothing$(重ならない)条件。$B$ が $A$ より完全に左にある($B$ の右端 $a+3$ が $A$ の左端 $-1$ 以下)か、$B$ が完全に右にある($B$ の左端 $a-3$ が $A$ の右端3以上)。

$$a\leqq -4\text{または}a\geqq 6$$

絶対値の集合は範囲に直し、数直線で端の位置を比べるのが基本だ。

発展 — 一歩先へ。 この問題は $A\subset B$ と $A\cap B=\varnothing$、つまり両極端の位置だけを聞いている。

$a$ を横軸にとって全体を見わたすと、$a$ の直線自体が切り分けられる。$a\le -4$ で離れ、$-4<a<0$ で一部だけ交わり、$0\le a\le 2$ で覆い、$2<a<6$ でまた一部だけ交わり、$6\le a$ で再び離れる。答えの範囲もそれぞれ区間になる。

境界の $a=-4,0,2,6$ は、$B$ の端が $A$ の端とちょうど重なる「接する」瞬間だ。区間どうしの位置関係が、$a$ が動くにつれて連続的に移り変わる様子が見えてくる。

別解

別解 — 三角不等式で端点を比べずに出す(得意な人向けの別技法)。 どんな実数でも $|s+t|\le |s|+|t|$(三角不等式)が成り立つ。これを使うと端の比較を経ずに条件が出る。

(1) $x\in A$ なら $|x-1|<2$。ここで

$$|x-a|=|(x-1)+(1-a)|\le |x-1|+|1-a|<2+|1-a|.$$

右辺が $3$ 以下なら、この $x$ は必ず $|x-a|<3$、すなわち $B$ に入る。よって $2+|1-a|\le 3$、つまり $|1-a|\le 1$ なら $A\subset B$。これは $0\le a\le 2$ にあたる。

(2) もし $A$ と $B$ に共通の $x$ があれば、その $x$ について

$$|1-a|=|(1-x)+(x-a)|\le |x-1|+|x-a|<2+3=5.$$

だから $|1-a|\ge 5$ なら共通の $x$ は存在しえない。これは $a\le -4$ または $a\ge 6$ にあたる。

三角不等式が与えるのは十分性だが、$|1-a|$ が境目を超えると窓がはみ出す/届いてしまうので、条件はちょうど $|1-a|\le 1$、$|1-a|\ge 5$。中心 $1$ と $a$ の隔たり $|1-a|$ を $A,B$ の幅に結びつけるこの見方で、本解の $0\le a\le 2$、$a\le -4$ または $a\ge 6$ と一致する。