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数学II

式と証明 二項定理・恒等式・不等式の証明

3次式の展開・因数分解、二項定理、整式の除法、分数式、恒等式、等式・不等式の証明を扱います。

全 56 問(★基礎 12・★★標準 12・★★★応用 8・★★★★難関 8・実戦編 8・最難関編 8)

★ 基礎の問題12問

教科書レベル。定義・公式の確認と基本操作

  1. 3次式の展開
  2. 3次式の因数分解
  3. 二項定理による展開
  4. 二項定理と特定の項の係数
  5. 多項式の割り算
  6. 分数式の乗法・除法
  7. 分数式の加法・減法
  8. 恒等式と係数比較
  9. 部分分数分解(数値代入)
  10. 条件つき等式の証明
  11. 不等式の証明(差をとる)
  12. 相加平均・相乗平均と最小値

★★ 標準の問題12問

定期テストレベル。典型パターンの運用

  1. 二項定理と定数項
  2. 二項展開の係数の和
  3. 高次式を2次式で割った余り
  4. 割った余りの条件から余りを求める
  5. 部分分数分解
  6. 繁分数式の整理
  7. 比例式と等式の証明
  8. 比例式の条件つき等式
  9. 逆数の和の不等式
  10. 和と逆数の和の積
  11. 2乗の和の積の不等式
  12. 分数式の最小値(相加相乗)

★★★ 応用の問題8問

入試標準レベル。複数の考え方を組み合わせる

  1. 二項係数の和
  2. 二項係数の積の和
  3. 高次式を (x−1)² で割った余り
  4. 部分分数と和の計算
  5. 3変数の相加相乗の応用
  6. 単位円上の点の不等式
  7. 条件つきの積の最大値
  8. 対称式の不等式

★★★★ 難関の問題8問

旧帝大・早慶レベル。一部の単元に用意した挑戦枠

  1. 二項定理と定数項
  2. 多項定理による係数
  3. 相加・相乗平均による不等式の証明
  4. コーシー・シュワルツの不等式
  5. 数値代入による恒等式の係数決定
  6. 整式を2次式で割った余り
  7. 比例式を用いた等式の証明
  8. 条件つきの最小値(相加・相乗平均)

実戦編の問題8問

難関大の総合問題。複数の単元を融合した単元横断の演習

  1. 二項係数の平方和(係数比較)
  2. 対称式の因数分解と3変数の相加相乗
  3. コーシー・シュワルツの不等式(ラグランジュ恒等式)
  4. 条件つき不等式(和が1のもとでの積)
  5. 二項係数の重み付き和(微分・代入)
  6. x+1/x の対称式は整数係数多項式(漸化式)
  7. 部分分数分解による望遠鏡和
  8. 相加相乗平均で階乗を評価

最難関編の問題8問

東大・京大の最難関レベル。気づきにくい発想や、何段階もの議論が必要な問題

  1. 同じ順序の積の和の不等式
  2. (1+1/n)ⁿ が3を超えないこと
  3. 二項係数が n+1 で割り切れること
  4. 分数式の絶対値が1未満であること
  5. 2のべきの積と等比数列の和
  6. n+1個の条件をみたす多項式の次の値
  7. 値の偶奇から整数解がないことを示す
  8. 積の形の望遠鏡式

式と証明の解説(つまずきやすい点と学習の順序)

この単元の内容を使う入試過去問