式と証明 — 二項定理・恒等式・不等式の証明

次の式を展開せよ。

(1) $(x+2{)}^3$

(2) $(2x-1{)}^3$

(3) $(x+1)(x^2-x+1)$

次の式を因数分解せよ。

(1) $x^3+27$

(2) $8x^3-1$

二項定理を用いて、$(x+2{)}^4$ を展開せよ。

$(2x-3{)}^5$ の展開における、$x^2$ の項の係数を求めよ。

整式 $2x^3+3x^2-x+4$ を $x+2$ で割ったときの商と余りを求めよ。

次の式を計算せよ。

$$\frac{x^2-4}{x^2-9}÷\frac{x-2}{x+3}$$

次の式を計算せよ。

$$\frac{2}{x-1}-\frac{1}{x+1}$$

次の等式が $x$ についての恒等式となるように、定数 $a$、$b$、$c$ の値を求めよ。

$$2x^2-x+3=a(x-1{)}^2+b(x-1)+c$$

次の等式が $x$ についての恒等式となるように、定数 $a$、$b$ の値を求めよ。

$$\frac{5x-1}{(x+1)(x-2)}=\frac{a}{x+1}+\frac{b}{x-2}$$

$a+b+c=0$ のとき、$a^3+b^3+c^3=3abc$ が成り立つことを証明せよ。

$a$、$b$ を実数とする。$a^2+b^2\ge 2ab$ が成り立つことを証明せよ。また、等号が成り立つのはどんなときか。

$a>0$ のとき、$a+\frac{4}{a}$ の最小値を求めよ。また、そのときの $a$ の値を求めよ。

${\left(x^2-\frac{1}{x}\right)}^6$ の展開における定数項を求めよ。

$(1+2x{)}^6=a_0+a_{1}x+a_2{x}^2+\cdots +a_6{x}^6$ とする。次の値を求めよ。

(1) $a_0+a_1+a_2+\cdots +a_6$

(2) $a_0-a_1+a_2-\cdots +a_6$

$x^{2024}+x+1$ を $x^2-1$ で割った余りを求めよ。

整式 $P(x)$ を $x-1$ で割ると余りが $3$、$x-2$ で割ると余りが $5$ である。$P(x)$ を $(x-1)(x-2)$ で割った余りを求めよ。

$\frac{4x+5}{(x+1)(x+2)}$ を $\frac{a}{x+1}+\frac{b}{x+2}$ の形に分解せよ。

次の式を簡単にせよ。

$$\frac{\frac{1}{x}-\frac{1}{y}}{\frac{1}{x}+\frac{1}{y}}$$

$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$ のとき、$\frac{a+c}{b+d}=\frac{a}{b}$ が成り立つことを証明せよ(分母は $0$ でないとする)。

$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$ のとき、$\frac{a^2+c^2}{b^2+d^2}=\frac{ac}{bd}$ が成り立つことを証明せよ。

$a>0$、$b>0$ のとき、$\frac{b}{a}+\frac{a}{b}\ge 2$ が成り立つことを証明せよ。また、等号が成り立つのはどんなときか。

$a>0$、$b>0$ のとき、$(a+b)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)\ge 4$ が成り立つことを証明せよ。

$a$、$b$、$x$、$y$ を実数とする。$(a^2+b^2)(x^2+y^2)\ge (ax+by{)}^2$ が成り立つことを証明せよ。また、等号が成り立つ条件を述べよ。

$x>0$ のとき、$\frac{x^2+2x+3}{x+1}$ の最小値を求めよ。また、そのときの $x$ の値を求めよ。

二項定理を用いて、次を示せ。

(1) ${}_n{\mathrm{C}}_0+{}_n{\mathrm{C}}_1+{}_n{\mathrm{C}}_2+\cdots +{}_n{\mathrm{C}}_n=2^n$

(2) ${}_n{\mathrm{C}}_0-{}_n{\mathrm{C}}_1+{}_n{\mathrm{C}}_2-\cdots +(-1{)}^n{}_n{\mathrm{C}}_n=0$

$(1+x{)}^4(1+x{)}^3=(1+x{)}^7$ の両辺で $x^3$ の係数を比べることにより、次の等式を確かめよ。

$$\sum _{k=0}^3{}_4{\mathrm{C}}_k{}_3{\mathrm{C}}_{3-k}={}_7{\mathrm{C}}_3$$

また、その値を求めよ。

$x^5$ を $(x-1{)}^2$ で割った余りを求めよ。

次の問いに答えよ。

(1) $\frac{1}{k(k+1)(k+2)}=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{k(k+1)}-\frac{1}{(k+1)(k+2)}\right)$ が成り立つことを確かめよ。

(2) (1)を用いて $\sum _{k=1}^n\frac{1}{k(k+1)(k+2)}$ を求めよ。

$a>0$、$b>0$、$c>0$ のとき、$(a+b+c)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\ge 9$ が成り立つことを証明せよ。

実数 $a$、$b$、$x$、$y$ が $a^2+b^2=1$、$x^2+y^2=1$ を満たすとき、$ax+by\le 1$ が成り立つことを証明せよ。

$x>0$、$y>0$ が $x+2y=4$ を満たすとき、$xy$ の最大値を求めよ。また、そのときの $x$、$y$ の値を求めよ。

$a$、$b$、$c$ を実数とする。$a^2+b^2+c^2\ge ab+bc+ca$ が成り立つことを証明せよ。また、等号が成り立つ条件を述べよ。

${\left(2x-\frac{1}{x^2}\right)}^9$ の展開式における定数項を求めよ。

$(x+2y+3z{)}^5$ の展開式における $x^2{y}^{2}z$ の項の係数を求めよ。

$a,b,c$ を正の実数とするとき、$(a+b)(b+c)(c+a)\ge 8abc$ が成り立つことを示せ。また、等号が成り立つのはどんなときか。

実数 $a,b,c,x,y,z$ について

$$(a^2+b^2+c^2)(x^2+y^2+z^2)\ge (ax+by+cz{)}^2$$

が成り立つことを示せ。また、等号が成り立つ条件を述べよ。

次の等式が $x$ についての恒等式となるように、定数 $a,b,c,d$ の値を定めよ。

$$x^3=a(x-1)(x-2)(x-3)+b(x-1)(x-2)+c(x-1)+d$$

$x^{2024}$ を $x^2-x+1$ で割った余りを求めよ。

$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$ のとき、$\frac{a^2+c^2}{b^2+d^2}=\frac{ac}{bd}$ が成り立つことを示せ(分母は $0$ でないとする)。

$a,b$ を正の実数とし、$a+b=1$ を満たすとする。${\left(a+\frac{1}{a}\right)}^2+{\left(b+\frac{1}{b}\right)}^2$ の最小値を求めよ。

$n$ を自然数とする。$\sum _{k=0}^n{\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k}\right)}^2=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{2n}{n}\right)$ が成り立つことを示せ。ここで $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k}\right)$ は二項係数 ${}_n{\mathrm{C}}_k$ を表す。

$a,b,c$ を正の実数とする。(1) $a^3+b^3+c^3-3abc=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)$ を示せ。

(2) これを用いて $a^3+b^3+c^3\ge 3abc$ を示し、等号成立条件を述べよ。

実数 $a_1,a_2,a_3,b_1,b_2,b_3$ について、ラグランジュの恒等式 $$(a_1^2+a_2^2+a_3^2)(b_1^2+b_2^2+b_3^2)-(a_1{b}_1+a_2{b}_2+a_3{b}_3{)}^2=\sum _{i<j}(a_i{b}_j-a_j{b}_i{)}^2$$ を示し、これを用いてコーシー・シュワルツの不等式 $(a_1{b}_1+a_2{b}_2+a_3{b}_3{)}^2\le (a_1^2+a_2^2+a_3^2)(b_1^2+b_2^2+b_3^2)$ を示せ。

$a,b,c$ を正の実数で $a+b+c=1$ を満たすものとする。$\left(\frac{1}{a}-1\right)\left(\frac{1}{b}-1\right)\left(\frac{1}{c}-1\right)\ge 8$ が成り立つことを示し、等号成立条件を述べよ。

$n$ を自然数とする。$\sum _{k=0}^n{k}^2\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k}\right)=n(n+1)2^{n-2}$ が成り立つことを示せ。

$x\ne 0$ とし、$t=x+\frac{1}{x}$ とおく。各自然数 $n$ に対して $x^n+\frac{1}{x^n}$ は $t$ の整数係数の多項式で表せることを示し、$x^5+\frac{1}{x^5}$ を $t$ で表せ。

$n$ を自然数とする。$\sum _{k=1}^n\frac{1}{k(k+1)(k+2)}=\frac{1}{4}-\frac{1}{2(n+1)(n+2)}$ が成り立つことを示せ。

$n$ を自然数とする。$n!\le {\left(\frac{n+1}{2}\right)}^n$ が成り立つことを示せ。

実数 $a\ge b\ge c$ および $x\ge y\ge z$ に対して、不等式

$$3(ax+by+cz)\ge (a+b+c)(x+y+z)$$

が成り立つことを示せ。また、等号が成り立つのはどのようなときか。

$n$ を自然数とする。二項定理を用いて、不等式

$${\left(1+\frac{1}{n}\right)}^n<3$$

が成り立つことを示せ。

$n$ を自然数とする。

(1) 等式 ${}_{2n}{\mathrm{C}}_n-{}_{2n}{\mathrm{C}}_{n+1}=\frac{{}_{2n}{\mathrm{C}}_n}{n+1}$ が成り立つことを示せ。

(2) ${}_{2n}{\mathrm{C}}_n$ は $n+1$ の倍数であることを示せ。

実数 $a,b$ が $|a|<1,|b|<1$ を満たすとき、次の不等式が成り立つことを示せ。

$$\left|\frac{a+b}{1+ab}\right|<1$$

(1) 次の等式を示せ。

$$(1+x)(1+x^2)(1+x^4)(1+x^8)=1+x+x^2+\cdots +x^{15}$$

(2) 一般に、0以上の整数 $n$ に対して次の等式を示せ。

$$(1+x)(1+x^2)(1+x^4)\cdots (1+x^{2^n})=1+x+x^2+\cdots +x^{2^{n+1}-1}$$

$n$ を自然数とする。$n$ 次多項式 $f(x)$ が

$$f(k)=\frac{k}{k+1}(k=0,1,2,\dots ,n)$$

を満たすとき、$f(n+1)$ の値を求めよ。

$f(x)$ を整数係数の多項式とする。$f(0)$ と $f(1)$ がともに奇数ならば、方程式 $f(x)=0$ は整数の解をもたないことを示せ。

$n$ を2以上の自然数とする。次の積を求めよ。

$$\left(1-\frac{1}{2^2}\right)\left(1-\frac{1}{3^2}\right)\left(1-\frac{1}{4^2}\right)\cdots \left(1-\frac{1}{n^2}\right)$$