数学II / 式と証明

3次式の展開

★ 基礎3次式の展開

問題

次の式を展開せよ。

(1) $(x + 2)^{3}$

(2) $(2 x - 1)^{3}$

(3) $(x + 1) (x^{2} - x + 1)$

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$(x + 2)^{3}$ を $3$ 回かけて地道に展開してもよいが、 $3$ 乗専用の展開の形を覚えていれば一気に書ける。係数の並びが左右対称になることが検算に使える。(3)は展開してみると途中の項がバタバタ消える — 何が残るか。

解答・解説

方針

3次の展開公式を使う。 $(a + b)^{3}$ は4つの項が出る(係数 $1, 3, 3, 1$ )。(3)は『和 × (2乗 − 積 + 2乗)』の形で、 $a^{3} + b^{3}$ の公式そのものだ。

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 $3$ 乗の展開は、公式を $2$ つ覚えれば全部片づく。

$(a + b)^{3} = a^{3} + 3 a^{2} b + 3 a b^{2} + b^{3}$

係数は $1, 3, 3, 1$ 。 真ん中の $3$ を落とすのが最頻ミスだ。

(2)の $(2 x - 1)^{3}$ では、 $a = 2 x$ 、 $b = - 1$ とまるごと置きかえる。

$(2 x)^{3} = 8 x^{3}$ — $2$ も $3$ 乗される。 $2 x^{3}$ としてしまう事故が本当に多い。カッコの中身は全部 $3$ 乗、と唱えながら書く。

(3)は展開公式ではなく、 $3$ 乗の和の因数分解の形だ。

$(a + b) (a^{2} - ab + b^{2}) = a^{3} + b^{3}$

$a = x$ 、 $b = 1$ で $x^{3} + 1$ 。真ん中の項が消えるのが、この公式の見どころである。

公式3乗の展開

(a \pm b)^{3} = a^{3} \pm 3 a^{2} b + 3 a b^{2} \pm b^{3}

、

(a + b) (a^{2} - ab + b^{2}) = a^{3} + b^{3}

(1) 展開公式に $a = x$ 、 $b = 2$ を入れる。

$(x + 2)^{3} = x^{3} + 3 x^{2} \cdot 2 + 3 x \cdot 4 + 8 = x^{3} + 6 x^{2} + 12 x + 8$

(2) $(a - b)^{3} = a^{3} - 3 a^{2} b + 3 a b^{2} - b^{3}$ に $a = 2 x$ 、 $b = 1$ を入れる。符号が $+, -, +, -$ と交互になる。

$(2 x - 1)^{3} = (2 x)^{3} - 3 (2 x)^{2} + 3 (2 x) - 1 = 8 x^{3} - 12 x^{2} + 6 x - 1$

(3) $(a + b) (a^{2} - ab + b^{2}) = a^{3} + b^{3}$ の公式( $a = x$ 、 $b = 1$ )。

$(x + 1) (x^{2} - x + 1) = x^{3} + 1$

(3)は展開してもよいが、公式の形に気づけば一瞬で終わる。

発展 — 一歩先へ。 なぜパスカルの三角形の数が、展開の係数になるのか。

$(a + b)^{3} = (a + b) (a + b) (a + b)$ を、カッコを開かずに考える。 $3$ 個のカッコから、それぞれ $a$ か $b$ を $1$ つずつ選んで掛ける — その全パターンを足すのが展開だ。

$a^{2} b$ の項は、どうやってできるか。 $3$ 個のカッコのうち、 $1$ 個から $b$ を選び、残り $2$ 個から $a$ を選ぶ。その選び方は

$_{3} C_{1} = 3 通り$

だから係数が $3$ になる。 同じく $a b^{2}$ の係数は $_{3} C_{2} = 3$ 、 $a^{3}$ は $_{3} C_{0} = 1$ 。

$(a + b)^{3} =_{3} C_{0} a^{3} +_{3} C_{1} a^{2} b +_{3} C_{2} a b^{2} +_{3} C_{3} b^{3}$

展開の係数は、組合せの数だった。 これが二項定理で、次の問題で正面から学ぶ。

「展開する」という代数の操作が、「選び方を数える」という場合の数の問題と同じなのだ。 $(a + b)^{100}$ の $a^{97} b^{3}$ の係数を知りたければ、 $100$ 回掛け算する必要はない — $_{100} C_{3} = 161700$ と数え上げれば済む。

代数と数え上げが、パスカルの三角形で握手している。

答

(1) $x^{3} + 6 x^{2} + 12 x + 8$ (2) $8 x^{3} - 12 x^{2} + 6 x - 1$ (3) $x^{3} + 1$

別解

公式を忘れても、パスカルの三角形があれば $3$ 乗も $4$ 乗も展開できる。 覚える量を減らす、賢い方法だ。

パスカルの三角形を、必要な段まで書く。

$1111211331$

$3$ 乗なら $4$ 段目の $1, 3, 3, 1$ 。 これが $(a + b)^{3}$ の係数だ。

$(a + b)^{3} = 1 \cdot a^{3} + 3 \cdot a^{2} b + 3 \cdot a b^{2} + 1 \cdot b^{3}$

$a$ の指数は $3 \to 2 \to 1 \to 0$ と減り、 $b$ の指数は $0 \to 1 \to 2 \to 3$ と増える。 指数の和はいつも $3$ — これが検算になる。

(1) $(x + 2)^{3}$ に当てはめる。 $a = x$ 、 $b = 2$ として

$1 \cdot x^{3} + 3 \cdot x^{2} \cdot 2 + 3 \cdot x \cdot 2^{2} + 1 \cdot 2^{3} = x^{3} + 6 x^{2} + 12 x + 8$

係数 $1, 6, 12, 8$ の作られ方を見てほしい。パスカルの $1, 3, 3, 1$ に、 $2$ の累乗( $2^{0}, 2^{1}, 2^{2}, 2^{3} = 1, 2, 4, 8$ )を掛けている。

$1 \times 1 = 1, 3 \times 2 = 6, 3 \times 4 = 12, 1 \times 8 = 8$

$2$ 段構えで係数が決まる — この構造が見えれば、 $(x + 3)^{3}$ でも $(x + 5)^{4}$ でも、その場で係数が作れる。

(2) $(2 x - 1)^{3}$ は、 $a = 2 x$ 、 $b = - 1$ 。

$1 \cdot (2 x)^{3} + 3 \cdot (2 x)^{2} \cdot (- 1) + 3 \cdot (2 x) \cdot (- 1)^{2} + 1 \cdot (- 1)^{3}$

$= 8 x^{3} - 12 x^{2} + 6 x - 1$

$(2 x)^{3} = 8 x^{3}$ 、 $(2 x)^{2} = 4 x^{2}$ — カッコごと累乗するのを忘れない。負の数の累乗は符号が交互( $- 1$ 、 $+ 1$ 、 $- 1$ )になるので、引き算の $3$ 乗は $+, -, +, -$ と符号が交代する。これも検算に使える。

検算の技: $x = 1$ を代入する。

(1)なら、左辺 $(1 + 2)^{3} = 27$ 、右辺 $1 + 6 + 12 + 8 = 27$ ✓。

展開したら、必ず $x = 1$ で確かめる。 係数の和が、元の式に $x = 1$ を入れた値と一致するはずだ。 $5$ 秒でできる検算で、符号ミスも係数ミスも一発で見つかる — この習慣が、点数を守る。

ポイント

$(a \pm b)^{3}$ は4項、係数は $1, 3, 3, 1$
$(a + b) (a^{2} - ab + b^{2}) = a^{3} + b^{3}$ 、 $(a - b) (a^{2} + ab + b^{2}) = a^{3} - b^{3}$
公式の形を見抜くと、展開せずに済む

よくある間違い

$(2 x - 1)^{3}$ で $(2 x)^{3} = 8 x^{3}$ とせず $2 x^{3}$ とする
3乗の展開で中央の係数 $3$ を落とす
(3)を $(a + b)^{3}$ の公式で展開しようとする(これは $a^{3} + b^{3}$ の因数分解の形)